Systèmes monétaires/Systèmes monétaires régionaux

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        <username>Gabriel from92</username>
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}}

Les systèmes monétaires régionaux sont des systèmes qui reposent sur des règles acceptées par un groupe de pays dans des accords ratifiés par tous.


Parmi ces systèmes, on trouve:
:* le système monétaire franco-africain
:* la zone franc 
:* la zone rouble
:* le Marché Commun des Caraïbes
:* ainsi que le SME et la zone euro déjà vus aux chapitres 3 et 4.

== Le système monétaire franco-africain et la zone franc  ==
[[Image:Cfa map fr.svg|283px|thumb|right|Zones franc en Afrique]]
En Afrique, les zones franc constituent des espaces monétaires et économiques. 
&lt;!--
[[Fichier:500 francs CFA BEAC-Avers.png|thumb|Pièce de 500 francs CFA (CEMAC) émise en 1979]]
[[Fichier:100 francs CFA 1997 UEMOA-Avers.png|thumb|Pièce de 100 francs CFA (UEMOA) émise en 1997]]--&gt;
=== Le système monétaire franco-africain  ===
Le système monétaire franco-africain (SMFA) est un système de change avec 14 pays africains. Ces pays utilisent la même monnaie = le '''franc CFA'''.

Le franc CFA est officiellement créé le 26 décembre 1945, lorsque la France ratifie les accords de Bretton Woods et procède à sa première déclaration de parité au Fonds monétaire international (FMI). Franc CFA signifiait alors « ''franc des colonies françaises d'Afrique'' ». Il était alors émis par la ''caisse centrale de la France d'outre-mer''.

Depuis la décolonisation, le franc CFA (''franc des Communautés Financières d'Afrique'') est à présent le nom de deux monnaies communes à plusieurs pays d'Afrique constituant en partie la '''''zone franc d'Afrique centrale''''' (CEMAC) et la '''''zone franc d'Afrique de l'Ouest''''' (UEMOA).  Leurs devises sont des contrevaleurs à parité fixe avec l'euro, dont la valeur est garantie par le Trésor public français, dans le cadre du traité de Maastricht.

Il y a 2 instituts d'émission (banques centrales): 
::la Banque centrale des États de l'Afrique de l'Ouest  (BCEAO) qui est à Dakar. Elle émet le franc de la communauté financière d’Afrique (franc CFA ; code  ISO 4217 = XOF).
::la  Banque des États de l'Afrique centrale  (BEAC) qui est à Yaoundé. Elle émet le  franc de la coopération financière d'Afrique centrale (franc CFA ; code  ISO 4217 = XAF).


Initialement, les francs CFA émis par les différents instituts étaient librement convertibles ; ce n'est plus le cas depuis septembre 1993. À présent, bien que les devises XOF et les XAF soient désignées communément par le même nom de franc CFA et aient (actuellement) la même valeur, elles ne sont ni interchangeables ni convertibles entre elles. Il ne s'agit donc pas d'une zone monétaire commune mais de deux zones juxtaposées.


=== La zone franc  ===
La zone franc rassemble quinze états africains et des territoires du Pacifique répartis en quatre groupes (XOF - XAF - KMF - XPF) :
* 1)  &amp;nbsp;  &amp;nbsp; Huit États d’Afrique de l’Ouest : le Bénin, le Burkina Faso, la Côte d'Ivoire, la Guinée-Bissau, le Mali, le Niger, le  Sénégal  et le  Togo  formant l' Union économique et monétaire ouest-africaine  (UEMOA),
* 2) &amp;nbsp;  &amp;nbsp; Six États d’Afrique centrale : le  Cameroun , la  République centrafricaine , la  République du Congo , le  Gabon , la  Guinée équatoriale  et le  Tchad , formant la  Communauté économique et monétaire de l'Afrique centrale  (CEMAC),
* 3) &amp;nbsp;  &amp;nbsp; L' Union des Comores , utilisant le  franc comorien  (code  ISO 4217 = KMF).
* 4) &amp;nbsp;  &amp;nbsp; Les trois collectivités françaises du Pacifique : la  Polynésie française ,  Wallis-et-Futuna  et la  Nouvelle-Calédonie , dont l'institut d'émission est l’ Institut d'émission d'outre-mer  (IEOM) utilisent le  franc pacifique  (ou franc CFP - code  ISO 4217 = XPF) .

Les barrières douanières entre les états bloquent les bénéfices d'une monnaie commune qui devrait favoriser le commerce inter-états. Le fait d’avoir une monnaie commune devrait se faire avec des politiques fiscales et monétaires concertées, i.e., il faudrait des structures fédérales pour avoir une certaine intégration politique&lt;ref&gt;Sanou Mbaye, ''L'Afrique francophone piégée par sa monnaie unique'', Le Monde diplomatique, novembre 2014, p 12&lt;/ref&gt;.


;remarques
* L'île de La Réunion a utilisé le franc CFA de 1945 à 1975, avant d'adopter le franc français.
* La  Guinée  utilise le  franc guinéen  (code  ISO 4217 =  GNF). Cette devise officielle de la Guinée, créée en 1960, n'a de valeur que sur le territoire guinéen.
* Le  Rwanda , le  Burundi  et la  République démocratique du Congo  utilisent respectivement le  Franc rwandais ,  Franc burundais  et le  Franc congolais. Ces pays doivent le nom de leur monnaie au  Franc belge car ce sont d'anciennes colonies belges. Leurs cours sont historiquement liés au  Franc belge. Ces pays n'ont jamais fait partie de la zone CFA, n'ayant jamais été des colonies françaises.


;Parité =
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| class=&quot;wikitable sortable&quot;
|-
! !! Date !! Parité 
|-
|+ '''Parité du franc CFA'''&lt;ref&gt;BCEAO [http://www.bceao.int/Histoire-du-Franc-CFA,55.html « Histoire du Franc CFA »], sur ''le site de la Banque Centrale des États de l'Afrique de l'Ouest'' 2012 &lt;/ref&gt;
|-
|------------------------------------------------------------
| Création du franc CFA : 
|&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;(1945)&lt;/div&gt;
| 1 F CFA = 1,70 FF
|------------------------------------------------------------
|Dévaluation du franc français (FF)
| &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;(1948)&lt;/div&gt;
| 1 F CFA = 2,00 FF
|------------------------------------------------------------
|Nouveau franc français (FRF)
| &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; (1958)&lt;/div&gt;
| 1 F CFA = 0,02 FRF
|------------------------------------------------------------
|Dévaluation de 50 % du franc CFA
| &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; (1994)&lt;/div&gt;
| 1 F CFA = 0,01 FRF
|------------------------------------------------------------
| Arrimage du franc CFA à l'euro : 
|&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;1er janvier 1999&lt;/div&gt;
| '''1 € = 6.55957 F CFA'''
|-
|}
&lt;/div&gt;

;références
&lt;references /&gt;

== La zone rouble (1949-1991)  ==

C'était une monnaie commune entre les pays du CAEM (''Conseil d' aide économique mutuel'' ou ''Conseil d'assistance économique mutuelle''). Le système monétaire correspondant reposait sur des accords entre les pays et des institutions.

Le sigle de la CAEM est aussi désigné par l'acronyme anglais '''Comecon''' ( en russe : СЭВ ).

Créé par Staline en 1949, ce système s'est dissous avec la chute de l'empire soviétique en juin 1991. Les pays du CAEM devaient faire usage du « '''''rouble transférable''''' » dans les transactions inter-États. 
Le rouble transférable était une unité monétaire scripturale basée sur le rouble soviétique et utilisé pour le calcul de la valeur des échanges commerciaux et des montants de dette entre les pays-membres de cet organisme économique du bloc de l'Est. Ensuite, le système de change a été fondé sur un « '''''panier de monnaies''''' » de pays occidentaux.

:La Banque internationale pour la coopération économique (BICE) créée en 1964 traitait les transactions.
:La Banque internationale d'investissement (BII) créée en 1970 s'occupait des crédits pour les investissements lourds.
:Il a été possible à des pays non membres de s'associer au système comme la République fédérative socialiste de Yougoslavie (associée en 1964).


== Marché Commun des Caraïbes   ==

=== Le CARICOM  ===

[[Image:Location Caricom.svg|500px|thumb|&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;'''La CARICOM''' {{legend|#2d5f2c|Pays membres}}{{legend|#66c804|Pays associés}}{{legend|#c2c572|Pays observateurs}}&lt;/div&gt;]]

La Communauté caribéenne, (''Caribbean Community'', '''CARICOM''') regroupe des pays d' Amérique qui ont constitué un Marché Commun des Caraïbes avec une autorité monétaire qui émet le '''dollar des Caraïbes'''. La monnaie est émise par une '''caisse d' émission''' et elle est reliée au dollar.

La CARICOM est né en 1973 lors du traité de Chaguaramas (Trinité-et-Tobago).
En 2014, elle est constituée de 15 États membres, de 5 membres associés, ainsi que de 8 États observateurs.
Les Conférences des chefs d'État et le Conseil des ministres sont les principaux organes de décision de l'organisation.
[[Image:Flag of CARICOM.svg|centré|thumb]]
:: 15 pays membres = Antigua-et-Barbuda ; Bahamas ;   Barbade ;   Belize ; Dominique ;   Grenade ;   Guyana ; Haïti ;  Jamaïque ;   Montserrat ;  Saint-Christophe-et-Niévès ; Sainte-Lucie ; Saint-Vincent-et-les-Grenadines ; Suriname ; Trinité-et-Tobago 

::5 pays associés =    Anguilla ;   Bermudes ;    Îles Vierges britanniques ;    Îles Caïmans ;    Îles Turques-et-Caïques 

::8 pays observateurs =    Aruba ;   Colombie ;   Curaçao ;    République dominicaine ;  Mexique ;  Puerto Rico ;    Saint-Martin (Pays-Bas) ;   Venezuela 

=== L' OECO et le dollar des Caraïbes orientales  ===

L’'''''Organisation des États de la Caraïbe orientale''''' (OECO) est une organisation entre plusieurs pays et dépendances des Antilles orientales. 
L'OECO a été créée le 18 juin 1981.

L'OECO se compose actuellement de neuf États membres, répartis sur les petites Antilles. Ensemble, ils forment un archipel presque ininterrompu :
* Antigua-et-Barbuda
* Dominique
* Grenade
* Montserrat (sous dépendance britannique)
* Saint-Christophe-et-Niévès ( Saint-Kitts-et-Nevis )
* Sainte-Lucie
* Saint-Vincent-et-les Grenadines
;membres associés
* Anguilla (sous dépendance britannique, membre associé)
* Îles Vierges britanniques (sous dépendance britannique, membre associé)

La '''Banque centrale de la Caraïbe orientale''' ( ECCB : ''Eastern Caribbean Central Bank'' ), créée en 1983, gère l'intégrité financière du bloc économique formé par les États membres, ainsi que celle du '''dollar des Caraïbes orientales''' ( EC$ ). Tous les États membres — à l'exception des îles Vierges britanniques — utilisent cette monnaie. Le dollar des Caraïbes orientales ou '''dollar est-caribéen''' a le code ISO 4217 : XCD . Le siège de la banque est situé à Basseterre (Saint-Kitts-et-Nevis).
* voir [http://www.cei.ulaval.ca/?pid=50#section_190 Centre d'études interaméricaines - Université de Laval - Québec]

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    <title>Recherche:Cardinal quantitatif</title>
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        <username>Guillaume FOUCART</username>
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  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_de_Cantor '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


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'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ET CELUI DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot;'' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC).'''

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et celle de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt; et un autre représentant que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;” 

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;&quot;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&quot;&lt;/math&gt; peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}

======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>rgmfftim5mon4jba34gkjpvz59ei5cq</sha1>
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      <timestamp>2026-09-28T19:05:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* C) */</comment>
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      <text bytes="486177" sha1="hryfvciz24kxc069v9as6dpw9ta47t0" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_de_Cantor '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ET CELUI DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot;'' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC).'''

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et celle de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt; et un autre représentant que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;” 

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;&quot; peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}

======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* C) */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="486179" sha1="jyjp7y5y35id8tr763dm3kn00axmx9q" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_de_Cantor '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ET CELUI DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot;'' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC).'''

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et celle de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt; et un autre représentant que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;” 

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;&quot; peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &quot;&lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;&quot;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}

======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>jyjp7y5y35id8tr763dm3kn00axmx9q</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986856</id>
      <parentid>986855</parentid>
      <timestamp>2026-09-28T19:12:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* C) */</comment>
      <origin>986856</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="486098" sha1="dfqescug1fmszp68jbi0rb0hfky4f5p" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_de_Cantor '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :'''


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'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

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'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos''' ===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''

'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ET CELUI DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot;'' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC).'''

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et celle de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt; et un autre représentant que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;” 

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;&quot; peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}

======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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    <title>Discussion Recherche:Ce que le mouvement Wikimédia nous apprend sur l'Homme et la Société globalisée/Vietnam</title>
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      <comment>Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]]</comment>
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      <text bytes="68" sha1="p8qpzoie268jjbxbt9pvx38p6a6nt2l" xml:space="preserve">#REDIRECTION [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]]</text>
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    <title>Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)</title>
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        <username>Guillaume FOUCART</username>
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      <comment>/* Préliminaires */</comment>
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      <text bytes="483632" sha1="oqg7zebcw0zakp005zw1dg7uo96c76j" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_de_Cantor '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :'''


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'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

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'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ET CELUI DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot;'' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC).'''

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et celle de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt; et un autre représentant que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;&quot; peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>oqg7zebcw0zakp005zw1dg7uo96c76j</sha1>
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    <revision>
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      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* Préliminaires */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="483619" sha1="k6dz75wy76kncw4d3ppwmqplcgxqspy" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (24)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

*[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_de_Cantor '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal de Cantor)''' '''''(sur Research Gate)''''']

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


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'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

=== '''Avant propos'''===

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

'''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).'''


'''Pour une première approche :'''

'''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

'''Consultez d'abord l'essentiel,''' 

'''c'est-à-dire :'''

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,1/1.2&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4&lt;/math&gt;

  - &lt;math&gt;Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10&lt;/math&gt;


'''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' 

'''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :'''

'''Lire en priorité d'abord &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;(**)&lt;/math&gt;'''

'''où &lt;math&gt;(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''&lt;/math&gt;'''

'''et où &lt;math&gt;(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''&lt;/math&gt;'''

'''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.'''


'''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.'''


'''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et la notion classique de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.'''


'''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' 

'''Par exemple : &lt;math&gt;\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}&lt;/math&gt;'''

'''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).'''


'''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :

*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et

*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble &lt;math&gt;A_2&lt;/math&gt; représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu &lt;math&gt;A_1&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ET CELUI DE L'ENSEMBLE &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot;'' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC).'''

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et celle de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt;&quot;) et la ''F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel &quot;&lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;&quot;), et ce seront les seuls à l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{0,classique}&lt;/math&gt; et un autre représentant que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\aleph_{1,classique}&lt;/math&gt;.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])}&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;&quot; peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A\in\mathcal{P}_{convexes}({\R''}^{n})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement normal (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt; plafonnement (de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = {\R''}_+^* \,\, ou \,\, {\N''}^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = {\R''}^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_{i} = B_{{\R''}^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


On pose alors : &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est bornée et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big) \,\,\Big|\,\, P_1 \,\,ou \,\, P_2 \,\, ou \,\, P_3 \,\, ou \,\, P_4 \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{convexes}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;
tel que &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, compacte (et même polytope) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{2}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, strictement ouverte de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée (et même polyèdre convexe, ouvert, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I = \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ni ouverte ni fermée, bornée (et même polyèdre convexe, ni ouvert ni fermé, borné) de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_{i} = A \bigcap B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; dans le cas où &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; non bornée”

&lt;math&gt;P_{4}&lt;/math&gt; : “&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; partie convexe, à la fois ouverte et fermée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i\in I= \R_+^* \,\, ou \,\, \N^*,A_{i}&lt;/math&gt; partie convexe, ouverte, bornée de &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A_i = B_{\R^n}(O_n,i)&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \R^n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A_i = B_{\R^n}(O_n,\frac{1}{i})}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;A = \emptyset&lt;/math&gt;”

[Remarque : Je ne sais pas si c'est suffisant aux vues de ce qu'a dit Michel COSTE, dans “La saga du “cardinal”” (version 4-5), mais je ne sais pas si c'est suffisant surtout pour &lt;math&gt;P_{3}&lt;/math&gt;].


Et alors : &lt;math&gt;{card}_{Q}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

Alors : &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
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    <title>Discussion Wikiversité:20 ans</title>
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      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
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      <comment>/* L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... */ Réponse</comment>
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      <text bytes="3706" sha1="n7jjca350y3a047yp6qngpnct0by7xt" xml:space="preserve">== Rencontre en Viso ==

Pour une rencontre en visio, rendez-vous sur la page : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans

Quand êtes-vous disponibles ? Peut-on se fixer un rendez-vous hebdomadaire ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC)

== Comment utiliser cette page de discussions ? ==

On organise explication, discussion, résolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 19 août 2026 à 00:20 (UTC)

:Je propose que l'on parle ici uniquement de l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC)

== L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... ==

Je découvre tardivement que l'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité. Heureusement, la discussion structurée fonctionne. Comme j'utilise principallement l'éditeur visuel pour une question de confort visuel précisément, Je pensais faire un déplacement vers l'espace de nom Projet: mais le projet est le même. Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche: quite à replacer la page dans l'espace Wikiversité: quand les travaux sont fini. Que fait-on ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC)
: Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche.&lt;br&gt; Je suis d'accord avec cette proposition car je pense que nous sommes dans un processus de recherche.&lt;br&gt; Nous nous demandons comment faire. C'est à ce stade que nous sommes.
: Or, quand je lis les trois pages déjà produites (sur le bureau, sur la page projet et sur cette page de discussion, j'ai l'impression que chacun a sa petite idée et que personne n'est en mesure de réaliser quoi que ce soit.&lt;br&gt; Ne pourrions-nous pas partir de cas concrets.&lt;br&gt; Nous pourrions alors comparer les besoins et l'efficacité des solutions proposées. 
: Avant de replacer la page dans l'espace Wikiversité, il faut des résultats et rédiger ces résultats. Lequels peuvent être publiés quand les travaux sont finis.
: Pour l'instant je regarde faire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 18 septembre 2026 à 20:00 (UTC)
::Salut @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. on va donc faire une redirection vers l'espace recherche le temps d'organiser les choses pour ensuite redéplacer la page dans l'espace Wikiversité en tant qu'archive.
::J'attends le mauvais temps pour me mettre au travail. Actuellement, je suis sur des travaux d'extérieurs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 septembre 2026 à 21:47 (UTC)

== Titres de sections ==
Bonjour {{Mention|Lionel Scheepmans}}

Si je comprends bien, c'est toi qui as mis les titres de sections dans cette page ? Pourrais-tu les expliciter / détailler ? Par exemple, j'ai du mal à comprendre ce que signifie &quot;Fusion département études artistiques&quot;.

Merci !

Bien à toi, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 septembre 2026 à 11:06 (UTC)</text>
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        <username>Lionel Scheepmans</username>
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      <text bytes="4112" sha1="0eh1e4vuzwvl22xnlk7pikd1lvot8gg" xml:space="preserve">== Rencontre en Viso ==

Pour une rencontre en visio, rendez-vous sur la page : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans

Quand êtes-vous disponibles ? Peut-on se fixer un rendez-vous hebdomadaire ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC)

== Comment utiliser cette page de discussions ? ==

On organise explication, discussion, résolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 19 août 2026 à 00:20 (UTC)

:Je propose que l'on parle ici uniquement de l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC)

== L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... ==

Je découvre tardivement que l'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité. Heureusement, la discussion structurée fonctionne. Comme j'utilise principallement l'éditeur visuel pour une question de confort visuel précisément, Je pensais faire un déplacement vers l'espace de nom Projet: mais le projet est le même. Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche: quite à replacer la page dans l'espace Wikiversité: quand les travaux sont fini. Que fait-on ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC)
: Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche.&lt;br&gt; Je suis d'accord avec cette proposition car je pense que nous sommes dans un processus de recherche.&lt;br&gt; Nous nous demandons comment faire. C'est à ce stade que nous sommes.
: Or, quand je lis les trois pages déjà produites (sur le bureau, sur la page projet et sur cette page de discussion, j'ai l'impression que chacun a sa petite idée et que personne n'est en mesure de réaliser quoi que ce soit.&lt;br&gt; Ne pourrions-nous pas partir de cas concrets.&lt;br&gt; Nous pourrions alors comparer les besoins et l'efficacité des solutions proposées. 
: Avant de replacer la page dans l'espace Wikiversité, il faut des résultats et rédiger ces résultats. Lequels peuvent être publiés quand les travaux sont finis.
: Pour l'instant je regarde faire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 18 septembre 2026 à 20:00 (UTC)
::Salut @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. on va donc faire une redirection vers l'espace recherche le temps d'organiser les choses pour ensuite redéplacer la page dans l'espace Wikiversité en tant qu'archive.
::J'attends le mauvais temps pour me mettre au travail. Actuellement, je suis sur des travaux d'extérieurs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 septembre 2026 à 21:47 (UTC)

== Titres de sections ==
Bonjour {{Mention|Lionel Scheepmans}}

Si je comprends bien, c'est toi qui as mis les titres de sections dans cette page ? Pourrais-tu les expliciter / détailler ? Par exemple, j'ai du mal à comprendre ce que signifie &quot;Fusion département études artistiques&quot;.

Merci !

Bien à toi, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 septembre 2026 à 11:06 (UTC)

:Salut @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]]. Le titre de cette section est une idée de @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] , exprimée en réponse à mon premier message de la salle café concernant les 20 ans. C'est donc cette personne qui pourra répondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 septembre 2026 à 21:56 (UTC)</text>
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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie</title>
    <ns>0</ns>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="172471" sha1="4zcia133qu6x1z9db6idviyv2v3d0dq" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » */</comment>
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      <text bytes="172540" sha1="i9cdx58f0jt5d3pp6jfrfl3yqcjp360" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » */</comment>
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      <text bytes="172563" sha1="dh9x6ybkunhd9cir78ybxpaigmczq1c" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » */</comment>
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      <text bytes="172600" sha1="gp72yjhg7whsh1gheyt16vggzfi7cks" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » */</comment>
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      <text bytes="172600" sha1="df27k0trfw3w707508tw8j8k26rmqyr" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <text bytes="172848" sha1="aher7z6hyqyfebrgnl2yd5ynqzbjzqq" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="173355" sha1="p8rke6pwam8x5mwelbm3u0tw3ace7wo" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <text bytes="173811" sha1="peo1vot7u5gzss6l8kxmj69godpj9os" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;math/&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="173810" sha1="dsqkp54yvamcjy7iu4ao4l69e35wbb8" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;math/&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <text bytes="173810" sha1="d1skhgj5kwcyels5hlqllnqnf03ynxq" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="173999" sha1="lofrug8wc0nesimti2f2niov52wgbco" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}
 =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
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