Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 104 46432 986875 986723 2026-09-29T14:48:48Z Phprevet 19657 Distance sur une surface de tube cylindrique 986875 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = sciences de l'ingénieur }} [[Fichier:Gonfler un anneau.jpg|vignette|Voici le texte intégral du chapitre, tu peux le copier-coller directement : ----]] [[Fichier:Gonfler un anneau.jpg|vignette|Elargissement du centre d'un anneau]] [[Fichier:Synthèse additive flou cinétique linéaire ou flou stroboscopique 3D Blanc Magenta Jaune Cyan.jpg|vignette|Synthèse additive flou cinétique linéaire ou flou stroboscopique 3D Blanc Magenta Jaune Cyan]] [[Fichier:Forces exercées sur une courbe géodésique.jpg|vignette|Forces exercées sur une masse qui gravite autour de la terre dans un référentiel ECEF]][[Fichier:Flou stroboscopique numérique.gif|vignette|Rotations d'anneaux RVB de 40° toutes les 0,025 s derrière un appareil photo]] [[File:3826 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3827 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]] [[File:3828 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]] [[File:3829 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]] [[File:3830 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3831 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3832 flou stroboscopique 3D rectiligne.jpg|thumb|]] [[File:3833 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3834 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3835 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[Fichier:Anim flou stroboscopique 3D rectiligne.gif|vignette|Animation flou stroboscopique 3D rectiligne, photos en 256 couleurs prises à 1/40s pour un angle par dichotomie de pi/3 ]] [[Fichier:Flou stroboscopique 3D rectiligne.mpg|vignette|Modèle statuette d'argile pour flou stroboscopique 3D rectiligne]] [[Fichier:Modèle synthèse additive aux couleurs RVB .mpg|vignette|Modèle Synthese additive 3D aux couleurs RVB]] [[Fichier:Formule Flou stroboscopique originale.jpg|vignette|Flou stroboscopique formule originale]]'''Le Flou de Mouvement des Objets en Rotation''' '''Chapitre 1 : Le Flou de Mouvement et la Perception Visuelle sur une Platine''' Le "flou de mouvement" d'un vinyle n'est pas un phénomène sonore, mais une '''expression visuelle''' capturée en photographie. Il apparaît lorsque l'on photographie un objet en mouvement (comme un disque vinyle en rotation) avec un appareil photo réglé sur une '''longue exposition'''. Durant cette période, la lumière de l'objet est "étirée" sur le capteur, créant des '''traînées lumineuses ou des zones floues''' qui suggèrent la vitesse et le dynamisme du mouvement. Pour un vinyle, cela se manifeste par de magnifiques arcs ou cercles concentriques flous, transformant le mouvement en une sorte de peinture de lumière et de temps. '''Le Calcul du Temps d'Exposition pour un Angle Précis''' Pour maîtriser ce flou et obtenir un effet précis, il est possible de calculer le temps d'exposition nécessaire. Ce calcul dépend de l'angle de flou désiré et de la vitesse de rotation du vinyle (RPM). La formule générale est la suivante : Tempsdeˊxposition(ensecondes)=fracAngledeˊsireˊ(endegreˊs)Vitessederotationduvinyle(endegreˊs/seconde) Pour un vinyle à '''33 1/3 tours/minute (environ 200 degrés par seconde)''', un flou de '''45 degrés''' nécessite environ '''0,225 seconde'''. Pour un vinyle à '''45 tours/minute (environ 270 degrés par seconde)''', le même flou de '''45 degrés''' demande environ '''0,167 seconde'''. Ces calculs permettent d'ajuster l'appareil pour obtenir l'étendue de flou souhaitée. '''Le Disque de Newton à l'Épreuve du Flou de Mouvement : Quand le blanc apparaît doublement''' Un cas fascinant se présente si l'on photographie un '''disque de Newton''' (avec ses secteurs colorés) en rotation, en utilisant une '''longue exposition''' (suffisante pour qu'il fasse au moins un tour complet). Le résultat photographique sera un '''cercle blanc ou grisâtre''', similaire à ce que perçoit l'œil humain. Ce n'est pas dû à la persistance rétinienne de l'œil, mais à la capacité du '''capteur de l'appareil photo à intégrer toutes les lumières colorées''' du spectre sur la durée de l'exposition, réalisant une synthèse additive des couleurs directement sur le capteur et aboutissant au blanc. C'est une illustration éloquente de la convergence de principes physiques différents vers un même rendu visuel. '''Comparaison : Persistance Rétinienne vs. Flou de Mouvement en Rotation de Platine''' {| class="wikitable" | valign="top" |Caractéristique | valign="top" |Persistance Rétinienne (Œil Humain) | valign="top" |Flou de Mouvement (Appareil Photo) |- | valign="top" |'''Nature du Phénomène''' | valign="top" |'''Biologique et neurologique :''' Une propriété de notre système visuel et de notre cerveau. | valign="top" |'''Physique et optique :''' Un effet capturé par un appareil photographique (capteur ou film). |- | valign="top" |'''Mécanisme''' | valign="top" |Le cerveau "maintient" une image pendant une courte durée (~1/10 à 1/25 de seconde), fusionnant des stimulations visuelles rapides et discrètes en une perception continue. | valign="top" |Le capteur de l'appareil photo '''accumule physiquement la lumière''' pendant le temps d'exposition. Le mouvement de l'objet pendant ce temps est enregistré comme une traînée. |- | valign="top" |'''Cause de l'effet''' | valign="top" |'''Rapidité du changement :''' L'objet (ou les couleurs) change de position trop vite pour que l'œil puisse percevoir chaque instant distinctement. | valign="top" |'''Mouvement pendant la capture :''' L'objet bouge physiquement pendant que l'obturateur de l'appareil est ouvert. |- | valign="top" |'''Ce qui est perçu/capturé sur une platine''' | valign="top" |Si le disque tourne très vite (comme un Disque de Newton), les couleurs fusionnent et sont perçues comme une seule (ex: blanc). Le mouvement rapide peut sembler continu. | valign="top" |La rotation du disque est enregistrée comme une '''traînée floue ou des arcs lumineux''', montrant la trajectoire du mouvement pendant le temps d'exposition. |- | valign="top" |'''Est-ce réglable ?''' | valign="top" |'''Non :''' C'est une caractéristique fixe de l'œil humain. | valign="top" |'''Oui :''' Entièrement contrôlable par le temps d'exposition de l'appareil photo. |- | valign="top" |'''Déclencheur sur la platine''' | valign="top" |La '''vitesse de rotation du disque''' doit être supérieure à un certain seuil pour que les informations se mélangent pour l'œil (fréquence de fusion). | valign="top" |La '''durée du temps d'exposition''' est la clé. Plus le temps est long, plus le flou de mouvement est important pour une vitesse donnée. |- | valign="top" |'''Relation avec la "fréquence"''' | valign="top" |Associé à la '''fréquence de fusion du scintillement''' (~50-60 Hz) : au-delà de laquelle l'œil perçoit la continuité. | valign="top" |Pour la photo unique, liée au '''temps d'exposition'''. Pour la vidéo, liée à la '''fréquence d'images''' (framerate). |} '''Conclusion du chapitre :''' Il est important de ne pas confondre le flou de mouvement avec le '''flou stroboscopique'''. Le '''flou de mouvement "classique"''' est une '''traînée continue et lisse''' obtenue sous un éclairage constant lorsque l'objet bouge pendant l'exposition. En revanche, un '''effet stroboscopique''' (souvent lié à un éclairage intermittent ou une capture discrète à faible cadence) produira des '''images multiples ou des "fantômes"''' de l'objet en mouvement sur une même photo, marquant des positions distinctes plutôt qu'une traînée fluide. Le flou de mouvement est l'effet de la durée d'exposition, tandis que l'effet stroboscopique est un effet de "multiples captures" du mouvement. '''Chapitre 2 : Les Couleurs dans le Flou de Mouvement''' Dans le premier chapitre, il a été établi que le flou de mouvement est la trace visuelle laissée par un objet en déplacement sur une photo à longue exposition. Lorsque cet objet est coloré, ou lorsqu'il interagit avec des lumières colorées, le phénomène prend une dimension encore plus riche et fascinante. '''1. L'étirement des Couleurs : Des Traînées Lumineuses et la Mesure des Arcs''' Lorsqu'une source de lumière ponctuelle, telle qu'une petite LED colorée, est attachée à un vinyle en rotation, elle ne demeure pas un simple point. Pendant que le disque tourne et que l'obturateur de l'appareil photo reste ouvert, cette lumière colorée s'étire le long de sa trajectoire circulaire, créant une '''traînée lumineuse''' qui conserve la couleur de sa source. Ainsi, le flou de mouvement transforme les points colorés en arcs ou en cercles lumineux. Il est possible de calculer précisément la longueur de cet arc de cercle (la "distance" parcourue par la lumière) en fonction de la vitesse de rotation du vinyle et du temps d'exposition de l'appareil photo. Si l'angle du flou est theta (en radians) et le rayon de la traînée est r, la longueur de l'arc est donnée par la formule : Longueurdelaˊrc=rtimestheta Pour obtenir theta en radians, il est nécessaire de convertir l'angle en degrés par : thetarad=textangleendegreˊstimesfracpi180 '''2. La Synthèse Additive des Couleurs RVB dans le Mouvement Circulaire et sa Représentation Matricielle par Intensité''' Le comportement des couleurs dans le flou de mouvement est particulièrement révélateur concernant la '''synthèse additive'''. Cette synthèse concerne la lumière, et ses couleurs primaires sont le '''Rouge (R), le Vert (V) et le Bleu (B) (RVB)'''. Lorsque l'on attache des LED RVB à différents points d'un vinyle en rotation, ou que l'on éclaire le disque avec ces trois couleurs distinctes sous une longue exposition photographique, chaque LED colorée génère sa propre traînée lumineuse circulaire. La superposition de ces cercles lumineux sur le capteur entraîne une modification de la couleur de chaque traînée par addition des codes couleur RVB dans la matrice du capteur. Là où ces cercles lumineux se chevauchent, la lumière des différentes couleurs s'additionne, selon les principes de la synthèse additive : * Rouge + Vert = '''Jaune''' * Rouge + Bleu = '''Magenta''' * Vert + Bleu = '''Cyan''' Le phénomène le plus spectaculaire survient si le mouvement est suffisant pour que les trois couleurs primaires se chevauchent complètement et uniformément sur toute la surface de la rotation (à l'instar d'un disque de Newton photographié en longue exposition) : la somme de ces lumières primaires converge alors vers le '''Blanc'''. Le capteur photographique, en tant qu'accumulateur de lumière pendant le temps d'exposition, réalise cette synthèse additive. Il intègre toute la lumière reçue, créant de nouvelles teintes là où les rayons lumineux des couleurs RVB se rencontrent sur la même zone du capteur. Pour mieux visualiser ces superpositions, une représentation tabulaire inspirée d'un diagramme de Venn peut être utilisée. Les valeurs de 0 à 255 indiquent l'intensité de chaque composante de couleur (255 étant l'intensité maximale, 0 l'absence) : {| class="wikitable" | valign="top" |Intensité Rouge (R) | valign="top" |Intensité Verte (V) | valign="top" |Intensité Bleue (B) | valign="top" |Couleur résultante (synthèse additive de lumière) |- | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Lumière Rouge pure''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Lumière Verte pure''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Bleue pure''' |- | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Lumière Jaune''' |- | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Magenta''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Cyan''' |- | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Blanche''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Noir (Absence de lumière)''' |} Note sur les couleurs complexes (comme le marron) : Il est important de souligner que des couleurs comme le marron ne peuvent pas être directement représentées comme une simple ligne dans cette matrice simplifiée, car elles résultent d'un mélange des trois couleurs primaires (RVB) avec des intensités spécifiques et généralement non maximales pour chaque composante, aboutissant à une luminosité globale plus faible. Par exemple, un marron clair pourrait avoir un code RVB de (139, 69, 19). Cela correspond à une combinaison plus nuancée des intensités dans l'espace colorimétrique RVB plutôt qu'à une superposition "tout ou rien" des primaires. '''3. L'Impact des Sources Lumineuses et du Noir : Lumières VS Surfaces''' La manifestation de la couleur dans le flou de mouvement est fortement influencée par sa source : * Les '''lumières auto-lumineuses''' (telles que les LEDs) génèrent des traînées très vives et saturées, puisqu'elles émettent directement leur propre lumière. * Les '''objets colorés réflecteurs''' (comme une surface peinte sur le vinyle) produisent des flous plus subtils, leur couleur dépendant de l'éclairage ambiant qu'ils réfléchissent. L'incorporation du '''noir''', en tant que couleur neutre, sur un vinyle peint en RVB a un effet distinctif. Le noir absorbe la quasi-totalité de la lumière et n'en émet pas. Dans le flou de mouvement : * Les sections noires ne génèrent pas de traînées lumineuses. Elles apparaîtront comme des zones sombres ou des "manques" au sein des arcs lumineux colorés. * Le noir est crucial pour créer du contraste. Ces zones d'ombre définies mettent en valeur les trajectoires lumineuses des couleurs RVB, apportant profondeur et structure à l'effet visuel. Dans le système RVB, le noir est représenté par (0, 0, 0), signifiant l'absence totale de lumière. '''4. Créativité et Expression Artistique : Peindre avec la Lumière et le Mouvement et la Nuance des Teintes Complexes''' Le flou de mouvement coloré constitue un puissant outil artistique. Il permet des techniques telles que le "'''light painting'''", où des mouvements de sources lumineuses créent des formes abstraites dans l'air. Sur une platine, il peut générer des motifs hypnotiques et des mandalas lumineux, transformant la rotation en une œuvre d'art dynamique qui évoque des émotions par la danse des couleurs. Au-delà des mélanges vifs du RVB, l'artiste peut également explorer des teintes plus complexes comme le '''marron''' dans le flou de mouvement circulaire. Le marron, étant une combinaison de Rouge, Vert et Bleu à des intensités spécifiques et généralement plus faibles (par exemple, RVB 139, 69, 19), ne se forme pas par une simple superposition maximale comme le blanc. Si l'on imagine un objet en arc de cercle composé de segments discrets affichant ces intensités (139 rouge, 69 vert, 19 bleu) et tournant sur un fond noir, il est crucial de noter que '''l'objet lui-même, à l'arrêt, n'apparaîtrait pas marron'''. Chaque segment serait perçu individuellement selon sa couleur RVB pure. Le marron est la '''couleur émergente''' qui résulte de la '''synthèse additive de la lumière''' de ces segments, intégrée par le capteur photographique sur la durée du mouvement. L'utilisation de '''lumières colorées pour créer du marron''' par le flou de mouvement exige un contrôle précis des intensités de chaque composante RVB afin d'obtenir la nuance et la luminosité intégrée désirées sur le capteur. Un objet physique marron en rotation créera simplement une traînée marron, dont la complexité de composition RVB sera fidèlement intégrée par le capteur, ajoutant une richesse subtile à l'effet. Cette approche ouvre la voie à des créations plus nuancées, moins éclatantes que les couleurs primaires et secondaires, mais offrant une palette émotionnelle différente, évoquant la terre, la chaleur ou la nostalgie à travers le mouvement. '''Conclusion du chapitre :''' En conclusion, l'étude des couleurs dans le flou de mouvement révèle une dimension fascinante de la photographie. Il est observé que les teintes individuelles s'étirent en '''traînées lumineuses''' le long de la trajectoire du mouvement. La superposition des lumières colorées, notamment des primaires '''RVB''', conduit à une '''synthèse additive''' directement sur le capteur photographique, créant de nouvelles couleurs secondaires et, à saturation complète, le blanc. L'impact visuel des couleurs dépend fortement de leur source, les lumières auto-lumineuses offrant des traînées vives, et le noir jouant un rôle crucial en soulignant les contrastes. Cette capacité à manipuler et à fondre les couleurs à travers le mouvement et le temps d'exposition ouvre des voies artistiques considérables, permettant la création de compositions abstraites, d'effets hypnotiques, et même l'exploration de nuances plus complexes comme le marron, en maîtrisant les intensités des composantes RVB. Le flou de mouvement, avec l'apport des couleurs, devient ainsi un outil puissant pour sculpter la lumière et l'émotion dans l'image, offrant une perspective unique sur la manière dont le temps et le mouvement peuvent transformer la perception visuelle. '''Chapitre 3 : Dynamiques Mathématiques du Mouvement Circulaire et de la Lumière''' Dans les chapitres précédents, il a été exploré comment le mouvement de rotation d'un vinyle se traduit visuellement par le flou photographique et comment les couleurs s'y fusionnent. Ce chapitre va approfondir les principes mathématiques et physiques qui sous-tendent ces phénomènes, permettant une compréhension plus quantitative de la dynamique lumineuse en jeu. '''1. Les Fondamentaux du Mouvement Circulaire Uniforme et du Flou''' Pour analyser le flou en rotation, il est essentiel de comprendre le mouvement circulaire uniforme (MCU), caractérisé par une vitesse angulaire constante. Les formules suivantes sont des outils précis pour décrire cette dynamique : * Vitesse Angulaire (omega) : Elle représente la variation de l'angle par unité de temps. Pour une platine, si la vitesse est donnée en tours par minute (RPM - Revolutions Per Minute), la conversion en radians par seconde est : omegarad/s=textRPMtimesfrac2piradians60secondes À titre d'exemple, pour 33 1/3 RPM, omegaapprox3,49textrad/s, et pour 45 RPM, omegaapprox4,71textrad/s. * Période (T) : Le temps nécessaire pour effectuer un tour complet. T=frac2piomegaquad(textensecondes) * Fréquence (f) : Le nombre de tours par unité de temps, soit l'inverse de la période. f=frac1T=fracomega2piquad(textenHertzoutours/seconde) * Vitesse Linéaire (v) : La vitesse à laquelle un point se déplace le long de sa trajectoire circulaire. Elle dépend du rayon (r) de la position du point par rapport au centre de rotation : v=rtimesomega Cette relation est fondamentale : un point plus éloigné du centre du disque aura une vitesse linéaire plus élevée. * L'Angle de Flou (Deltatheta) : Il représente l'angle total balayé par la rotation de l'objet pendant le temps d'exposition (Deltat) de l'appareil photo. Deltatheta=omegatimesDeltat Cet angle est directement lié à la longueur de l'arc de flou qui sera capturée sur l'image finale. '''2. La Synthèse Additive par Pondération des Intensités''' Le capteur photographique fonctionne en accumulant la lumière sur la durée de l'exposition. Lorsque différentes sources lumineuses colorées interagissent avec un même pixel pendant le mouvement, le résultat est une synthèse additive des intensités lumineuses. Les formules d''''addition pondérée des composantes RVB''' modélisent précisément ce phénomène : Pour un pixel P, l'intensité finale de chaque composante de couleur (RP,VP,BP) est la somme des contributions de chaque source lumineuse i (Ri,Vi,Bi) multipliée par la fraction du temps (Deltati/Deltattotal) pendant laquelle la lumière de cette source a illuminé ce pixel. Cela représente une '''moyenne pondérée temporelle''' de la lumière accumulée : <nowiki>$$R_P = \\sum_i R_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$V_P = \\sum_i V_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$B_P = \\sum_i B_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$</nowiki> Ce principe est essentiel pour comprendre comment un pixel enregistre une nouvelle couleur qui n'était pas nécessairement présente de manière continue, mais qui émerge de l'intégration des différentes lumières qu'il a reçues au fil du temps. '''3. Cas Pratique : Calcul des Angles pour le Marron''' Pour illustrer l'application de ces principes, prenons l'exemple de la création du '''marron''' (RVB : 139, 69, 19) par des segments colorés en rotation. # '''Définition des valeurs (Lx) :''' Ces valeurs représentent les contributions relatives de chaque couleur. #* Lr=139 (Rouge) #* Lv=69 (Vert) #* Lb=19 (Bleu) #* Ln=0 (Noir, car il n'apporte pas de lumière active pour la couleur) # '''Calcul de la somme des valeurs (L) :''' L=Ln+Lr+Lv+Lb=0+139+69+19=227. Cette valeur L représente la somme des proportions lumineuses des segments pour un mélange complet. # '''Angle total de l'arc :''' Pour que ces segments se mélangent en une couleur unique sur l'image finale (comme sur un disque de Newton), il est supposé qu'ils couvrent la totalité du cercle de flou, soit 2pi radians ($360^\\circ$). # '''Calcul des angles de chaque segment (thetax) :''' La formule utilisée est thetasegment=DeltathetatotaltimesfractextValeurdusegmentL. #* Segment Rouge (thetaR) : $$\\theta_R = 2\\pi \\times \\frac{139}{227} \\approx \\mathbf{3.847\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{220.35^\\circ})$$ #* Segment Vert (thetaV) : $$\\theta_V = 2\\pi \\times \\frac{69}{227} \\approx \\mathbf{1.910\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{109.43^\\circ})$$ #* Segment Bleu (thetaB) : $$\\theta_B = 2\\pi \\times \\frac{19}{227} \\approx \\mathbf{0.526\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{30.13^\\circ})$$ #* Segment Noir (thetaN) : $$\\theta_N = 2\\pi \\times \\frac{0}{227} = \\mathbf{0\\ radians}\\ (\\mathbf{0^\\circ})$$ '''4. Le Rôle Crucial du Noir : Vers la Création du Gris''' Ce calcul met en évidence un aspect fondamental de la synthèse additive : la nécessité du '''noir''' pour créer des teintes désaturées, comme le gris. Un '''gris''' est une couleur composée d'intensités égales de rouge, vert et bleu, mais à un niveau de luminosité inférieur au blanc. Si l'on ne disposait que de segments de couleurs primaires pures (Rouge, Vert, Bleu) et que l'on les faisait tourner, on obtiendrait par synthèse additive des couleurs vives ou du blanc. Pour atteindre un gris, il faut '''réduire l'intensité lumineuse globale''' perçue par le capteur. C'est là que le '''segment noir''' devient indispensable. Le noir absorbe la lumière et ne contribue par aucune intensité lumineuse au mélange. En incorporant des segments noirs (c'est-à-dire des zones sans émission de lumière) dans la composition de l'arc de rotation, on '''diminue la quantité totale de lumière''' qui atteint le capteur sur la durée de l'exposition. Cela "dilue" l'effet des couleurs vives et permet d'atteindre des niveaux de luminosité inférieurs tout en maintenant les proportions RVB nécessaires pour un gris. '''Conclusion du chapitre :''' Ce chapitre a fourni les outils mathématiques essentiels pour comprendre et prédire le comportement de la lumière et du mouvement en photographie. De la quantification du mouvement circulaire à la modélisation de l'intégration lumineuse pondérée, il est désormais possible d'aborder la création de couleurs complexes, comme le marron ou le gris, de manière scientifique. Il a été démontré que des éléments apparemment passifs comme le noir jouent un rôle actif crucial dans la modulation de l'intensité lumineuse perçue, ouvrant la voie à une maîtrise complète de la palette visuelle dans le flou de mouvement. '''Chapitre 4 : La Fantascopie et le Flou Périodique : La Création d'un Arc de Cercle Parfait''' '''1. Définir le Flou Périodique : au-delà de la simple rotation''' Alors que les chapitres précédents ont exploré les flous continus générés par une rotation prolongée, le flou périodique relève d'une dynamique plus complexe. Le terme de '''fantascopie''', qui fait écho aux dispositifs optiques du XIXe siècle tels que le phénakistiscope, est parfaitement adapté pour décrire cet effet. Il s'agit de la création d'une image fluide à partir d'une succession de vues fixes ou, dans notre cas, de la création d'un flou continu et régulier à partir de mouvements discontinus ou répétés. '''2. La méthode pour créer un arc de cercle parfait''' L'objectif est d'obtenir une traînée lumineuse d'un seul et même arc de cercle de longueur L et d'angle alpha sur la photo finale. Pour y parvenir, il n'est pas nécessaire d'avoir un seul objet qui parcourt cet arc. On peut, de manière plus précise et contrôlée, utiliser la méthode de superposition suivante : Prends un disque (ou un vinyle) sur lequel tu places 2n segments (ou arcs de cercle) identiques, où n est un nombre entier supérieur à 0. * Chacun de ces segments a une longueur égale à la moitié de la longueur désirée, soit L/2n. * L'angle de chacun des segments est la moitié de l'angle désiré, soit alpha/2n. Pour que la superposition fonctionne parfaitement, il est crucial que ces 2n segments soient positionnés de manière équidistante sur la platine. Autrement dit, l'espace entre chaque segment doit être régulier. '''3. Le mécanisme de la fantascopie par flou de mouvement''' Lors de la prise de vue avec une longue exposition, la platine tourne. Chaque segment parcourt son arc de cercle de longueur L/2n et d'angle alpha/2n. Le capteur de l'appareil photo va enregistrer la lumière de chaque segment de manière séquentielle, de sorte que les 2n traînées lumineuses se rejoignent et se superposent sans démarcation visible. Le résultat est une traînée de flou qui apparaît comme un unique et parfait arc de cercle de longueur L et d'angle alpha. Le choix de la puissance de 2 (n) est crucial : '''plus le nombre n est élevé''', et plus tu divises l'arc en petits segments, '''plus le flou final sera homogène et l'arc de cercle régulier'''. L'utilisation d'une infinité de segments (ntoinfty) permettrait d'obtenir un arc de cercle véritablement parfait, car les segments sont tellement petits que la traînée devient parfaitement lisse. Ce phénomène illustre la force de la fantascopie et du flou périodique : l'illusion d'un mouvement continu et complet est créée à partir de mouvements partiels, parfaitement synchronisés par la rotation et le temps d'exposition. '''Conclusion du chapitre :''' La fantascopie, appliquée au flou de mouvement, démontre que la perception de la continuité visuelle peut être façonnée par la superposition de mouvements discontinus. En utilisant une méthode de division du mouvement en 2n segments, nous pouvons créer une traînée de flou unique et régularisée. Cette approche permet de maîtriser précisément l'esthétique du flou de mouvement, transformant un mouvement périodique en une composition visuelle unifiée, ce qui est particulièrement puissant pour la création de motifs complexes ou d'effets visuels contrôlés. '''Chapitre 5 : Le Flou de Mouvement d'un Objet Coloré dans un Espace 3D Projeté sur un Plan''' '''1. La Projection du Mouvement 3D sur le Plan 2D du Capteur''' Dans le monde réel (3D), le mouvement d'un objet est perçu différemment par un capteur photographique qui est, lui, en 2D. Cette projection est la base de notre analyse. Le flou n'est pas une simple traînée ; c'est la trace du mouvement de l'objet, telle qu'elle a été "écrasée" et enregistrée sur une surface plane. La forme et la direction de cette traînée dépendent de l'angle et de la vitesse de l'objet par rapport à l'appareil photo. '''2. L'Impact de la Profondeur sur le Flou de Mouvement''' La profondeur (la dimension Z dans l'espace 3D) joue un rôle crucial. Pour un même mouvement angulaire, un point plus proche de l'appareil photo (petit rayon) se déplace sur une distance linéaire plus courte qu'un point plus éloigné (grand rayon). En conséquence, le flou de mouvement d'un objet 3D en rotation, comme un cylindre, n'est pas uniforme. Il sera plus court et moins prononcé près de l'axe de rotation et s'étirera en une bande linéaire plus longue et plus floue à mesure que l'on se rapproche du bord. '''3. Couleurs et Formes 3D dans le Flou : Une Synthèse Complexe''' Lorsque des couleurs sont ajoutées à un objet 3D en rotation, elles se comportent de manière plus complexe que sur un simple disque plat. Elles s'étirent, se superposent et se mélangent en fonction de leur position sur l'objet et de la manière dont la lumière les frappe et se réfléchit. Ce mélange donne naissance à des dégradés de couleurs qui ne sont pas de simples arcs de cercle, mais peuvent former des bandes de couleurs plus complexes sur le plan photographique. '''4. Le Flou d'un Cylindre Coloré en Rotation et l'Analogie du Satellite Géostationnaire''' En complément de l'approche décrite au Chapitre 3, une analogie conceptuelle permet d'appréhender le flou d'un cylindre en rotation de manière inédite. On peut imaginer le photographe comme un "satellite géostationnaire" par rapport au cylindre en rotation. Dans ce scénario, sa vitesse angulaire relative par rapport à la surface du cylindre serait nulle. Par conséquent, la vitesse angulaire (omega) sur la surface, dite "absolue", est égale à la vitesse angulaire de rotation du cylindre lui-même. Cette perspective offre une méthode directe pour calculer les paramètres de la prise de vue. Pour déterminer le temps d'exposition afin de créer un flou de mouvement avec des traînées linéaires colorées, on utilise la même méthode de calcul que celle décrite au Chapitre 3. La formule de base est : Deltatheta=omegatimesDeltat Dans cette formule, l'angle de flou (Deltatheta) est exprimé en radians et la vitesse angulaire (omega) en radians par seconde. L'élément le plus novateur de cette approche est que la '''longueur de la bande linéaire de flou est directement proportionnelle au diamètre du cylindre'''. Ce lien direct entre la géométrie de l'objet et le résultat photographique sur le plan 2D du capteur permet de relier les paramètres de la prise de vue à la taille de l'effet visuel désiré. Cela ouvre la voie à un contrôle précis pour "peindre" des dégradés de couleurs linéaires par le mouvement rotatif d'un objet 3D. '''5. Le Flou des Villes depuis un Satellite Non-Stationnaire et la Vitesse Relative''' La compréhension du flou de mouvement devient encore plus complexe et riche lorsque l'observateur (le photographe) est lui-même en mouvement. Un cas d'étude fascinant est la photographie de la Terre depuis un satellite en orbite basse (LEO), qui n'est pas stationnaire. Dans cette configuration, l'effet de flou n'est pas le résultat de la rotation de la Terre seule, mais de la '''vitesse angulaire relative''' entre le satellite et la surface de la planète. L'analyse de cette vitesse est cruciale. * '''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s. * '''Vitesse angulaire d'un satellite en orbite basse (omegaLEO) :''' Un satellite en orbite LEO (environ 90 minutes par tour) a une vitesse angulaire d'environ 1.16times10−3 rad/s. Puisque le satellite et la Terre tournent dans le même sens, la vitesse angulaire effective est la différence entre les deux : omegarelative=omegaLEO−omegaTerreapprox1.09times10−3textrad/s Calcul du temps d'exposition pour un quart de tour de flou : En appliquant la même formule du Chapitre 3 (Δt = Δθ / ω), pour obtenir un flou de fracpi2 radians (un quart de tour), le temps d'exposition nécessaire serait : Deltat=fracpi/21.09times10−3approx1441textsecondes Soit environ 24 minutes. Ce calcul démontre que la vitesse angulaire relative, beaucoup plus rapide que la simple rotation de la Terre, réduit considérablement le temps d'exposition nécessaire pour obtenir un flou équivalent. L'analyse de ces dynamiques, notamment via les coordonnées ECEF (Earth-Centered, Earth-Fixed), permet de créer des traînées lumineuses directionnelles d'une précision remarquable, révélant de manière visuelle la vitesse relative entre le satellite et la surface en rotation. '''Exemple de Calcul : Temps d'exposition depuis la Lune pour un quart de tour de la Terre''' Dans ce cas, l'observateur (le photographe sur la Lune) et la Terre sont tous deux en mouvement. La vitesse angulaire qui détermine le flou de mouvement est la vitesse angulaire relative entre la Terre qui tourne sur elle-même et la Lune qui tourne autour de la Terre. # [[Fichier:Intégrale d'un volume d'un cylindre.jpg|vignette|calcul intégral du volume d'un cylindre comme dans un scanner]][[Fichier:Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions.jpg|droite|600x600px|Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions]]'''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s. # Vitesse angulaire de la Lune (omegaLune) : La Lune effectue une orbite complète en environ 27,32 jours. omegaLune=frac2pitextradians27.32textjourstimes86400texts/jourapprox2.66times10−6textrad/s # Vitesse angulaire relative (omegarelative) : La Terre et la Lune tournent dans le même sens. La vitesse angulaire relative de la Terre vue depuis la Lune est la différence entre leurs vitesses : omegarelative=omegaTerre−omegaLuneapprox(7.27times10−5)−(2.66times10−6)approx7.00times10−5textrad/s # Calcul du temps d'exposition (Deltat) pour un quart de tour de flou (fracpi2 radians) : Deltat=fracDeltathetaomegarelative=fracpi/2textradians7.00times10−5textrad/sapprox22439textsecondes Soit environ 6 heures et 14 minutes. '''Conclusion du chapitre 5 :''' Ce chapitre a démontré comment le flou de mouvement, loin d'être un simple artefact photographique, devient un puissant outil d'analyse et de création lorsque le sujet est en 3D. De la projection d'un mouvement rotatif sur un plan 2D, nous avons exploré des dynamiques complexes, comme l'analogie du photographe "géostationnaire" par rapport à un cylindre, qui lie de manière élégante le diamètre de l'objet à la longueur de la traînée de flou linéaire. Le calcul du temps d'exposition à la vitesse de la Terre, comparé à la prise de vue depuis un satellite en orbite basse ou la Lune, a mis en évidence le rôle critique de la '''vitesse angulaire relative'''. En fin de compte, la maîtrise de ces principes géométriques et cinématiques permet de transcender la simple capture du mouvement. Elle ouvre des perspectives fascinantes pour contrôler précisément la forme, la durée et l'intensité des traînées lumineuses, transformant le mouvement invisible en une composition visible et signifiante. Le flou de mouvement devient ainsi un langage visuel qui raconte l'histoire du temps et de la vitesse. [[Fichier:Surface curviligne.jpg|800x800px]] [[Fichier:Deplacement autour d'une sphère.jpg|vignette|Calcul intégral du déplacement entre deux points dans une sphère issu du rayon*angle en radians]] [[Fichier:Rayon d'un disque contenant un carré de coté a.jpg|vignette|Rayon d'un disque contenant un carré de coté a par un calcul intégral issu du rayon * angle en radians]] [[Fichier:Dualité de 2 vecteurs orthogonaux et leur aire.jpg|600x600px]] [[Fichier:Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux.jpg|bordure|gauche|640x640px|Longueur en mètres d'un arc de cercle par rapport à 2 vecteurs orthogonaux et coplanaires]] == ` == [[Fichier:Quadrature du cercle demonstration par la vecteurs sur un plan.jpg|bordure|droite|640x640px|Quadrature du cercle demonstration par des vecteurs scalaires sur un plan]] [[Fichier:Distance parcourue par un point qui se déplace sur un cylindre.jpg|bordure|centré|640x640px|Distance parcourue par un point qui se déplace sur un cylindre]] [[Fichier:Flou stroboscopique typographie kinematic.mpg|vignette|Kinematic de typographie stroboscopique]] Le flou stroboscopique est un flou cinétique radial en photographie où on synchronise la vitesse d'obturation d'un appareil photographique avec celle d'une platine de tourne disque pour obtenir l'angle radial. [[File:Temps angulaire.jpg|thumb|Temps angulaire]] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Flou_stroboscopique_typographie_kinematic.mpg ;[[Fichier:Distance sur une surface de tube cylindrique.jpg|bordure|droite|640x640px]][[Fichier:Longueur d'un vecteur dans une sphère avec angle en radians.jpg|480x480px]][[Fichier:Anneau 60 -16.gif|vignette|tableau anneau RVB flou stroboscopique numérique ]][[Fichier:Intégrale matrice de rotation pour obtenir le tracé.jpg|vignette|Développement matrice de rotation]] ;*Fonction angulaire calculée d'après la formule '''''tempsdepause(pi/4;45tr/mn)=1/6s''''' ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t(θ) = exp[(4θ-<math>\pi</math>)/24)]/6</span> ::t(0)= <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">exp[(-<math>\pi</math>)/24)]/6</span> ;*Dérivée ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t'(θ) = exp[1<math>*</math>4/24]/6 = exp[1/6]/6</span> ;*Linéarisation du temps de pause t<math>_\theta</math>par rapport à l'angle <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">θ ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t<math>_0</math></span>=<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">exp[(-<math>\pi</math>)/24)]/6</span> :::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t</span><math>_\theta</math> <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">= t</span><math>_0</math><math>\exp(it)</math><math>^2</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;"><math>^\pi</math></span>= <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t<math>_0</math></span><math>*</math>(cos(t)̹̹<math>+</math>isin(t))<math>^2</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;"><math>^\pi</math></span>= <math>\exp</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">[(-<math>\pi</math>)/24]/6</span> <math>*</math>(cos(t)̹̹<math>+</math>isin(t))<math>^2</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;"><math>^\pi</math></span> ;*Primitive ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">T(θ) = (1/12)<math>*</math>exp(1/6)<math>*</math>θ² + (1/6)<math>*</math>exp(-<math>\pi</math>/24)<math>*</math>θ + (<math>\pi</math>/3)<math>*</math>(exp(-<math>\pi</math>/24)+<math>\pi</math><math>*</math>exp(1/6)) ;* Fonction inverse ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t-¹(θ) = t(<math>\pi</math>-3)</span> :: ::Exemple de ce qu'on peut faire avec la vitesse angulaire d'après le théorème de l'addition des vitesses de la mécanique relativiste d'Albert Einstein, la sonde pitot numérique: :[[Fichier:Formule ads b.jpg|vignette|Vitesse_sol= intégrale de l'accélération d'un avion pendant une période de temps= vitesse_air - vitesse_vent_altitude]]<math>Vitesse sol= \sqrt{((-(vitesse angulaire de larotation de la terre)*secondes(TempsB- tempsA)+ \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)}))^2+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)</math> :[[Fichier:Trajectoire d'un vol autour d'une sphère.jpg|vignette|schéma vitesse sol calculée avec somme vectorielle des arcs de cercle d'une trajectoire d'un vol au dessus d'une sphère en rotation avec les coordonnées gps par rapport au centre de la sphère.]] :exemple : :pour New York Paris on parcourt 7522,12296600851 km en 7h15 dans le sens de la rotation de la terre :vitesse sol = (3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))÷(7×3600+15×60) =1037,53420220807 km/h :et elle perdra une masse = (((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(7×3600+15×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(7×3600+15×60)^2)))*0,5/9,81 = 10984,7217977056 kg soit pour le trajet 8787,77743816448 litres de kérosène à une vitesse de 1037 km/h. :[[Fichier:Vitesse du vent.jpg|vignette|Intrication de la vitesse sol et de la vitesse du vent]] :pour paris New York on parcourt 7897,49588493335 km en 8h30 dans le sens contraire de la rotation de la terre :vitesse sol=(3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))÷(8×3600+30×60)=929,117162933335 km/h :et elle perdra une masse = (((6371000+11000))^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(8×3600+30×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(8×3600+30×60)^2)))*0,5/9,81= -9896,09159159012 kg soit pour le trajet 7916,8732732721 litres de kérosène à une vitesse de 929 km/h . : :Donc un vol aller pour Paris depuis New York consomme plus en carburant qu'un vol retour pour New York depuis Paris « Ce n'est pas le Soleil qui tourne autour de la Terre, c'est la Terre qui tourne autour du Soleil, Et pourtant la Terre elle tourne sur elle-même, c'est pour cela qu'elle est ronde… » Par cette formule pour un vol New York - Paris à 4000 m au-dessus de la mer et à 630,6 hectoPascal pour -8,5°°, un avion A320 de 76,4928 tonnes avec un angle d'horizon artificiel de -1,566923607° qui mettra 7h15 aura une vitesse moyenne de {{Unité|807.244837279434|km/h}} comme les distances en avion rallongent et consommera une valeur énergétique de 1,92307451971865 Gigajoules contre 1,63767263702058 Gigajoules pour le vol retour Paris New York d'une durée de 8h30 à une vitesse de {{Unité|744.9390928139391|km/h}} et avec un angle d'horizon artificiel de -1,567222514° comme les distances raccourcissent avec la terre qui tourne sur elle-même selon la relativité d'Albert Einstein Si la Terre était complètement sphérique et bien lisse il faudrait 3,651898169 jours pour qu'un ballon de basket roulant à {{unité|314662.519|km/h}} fasse le tour de la Terre en passant par les pôles. [[Fichier:Equation courbe geodesique coordonnées ECEF systeme WGS84.jpg|vignette|'''Équation courbe géodésique coordonnées ECEF système WGS84''']] Masse d'un avion en vol=(Masse volumique de l'atmosphere)*Altitude*Surface ventrale*Cx du fabricant [[Fichier:Coordonées ECEF systeme WGS84 d'une courbe geodesique.jpg|vignette|Coordonnées vecteurs et d'un point M d'une courbe géodésique]] <math>Masse avion=\left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx</math> <math>Horizon artificiel=\arctan \left (\frac{ \left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx*g}{ \sqrt{\mid vitesse angulaire de larotation de la terre * \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)} \mid+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)} \right) </math> Masse de la lune=384399000*PI*1737400^2*0,5=1,822643624*10^21 kg Masse volumique du vide sidéral aux alentours de la Lune=40,38090554 kg/m^3 nettement inférieur à la masse volumique de l'eau(997kg/m^3) et légèrement supérieur à la masse volumique de l'air (1,2kg/m^3) <math>Masse d'un photon=\frac{ConstantedePlanck*frequenceduphoton}{vitessedelalumieredanslevide^2}</math> masse d'un photon orange déplaçant une minuscule masse d'air à la vitesse de la lumière=1,491520911*10^-36 kg <math display="block">Frequence d'un photon=\left ( \frac{vitessedelalumieredanslevide}{(Constante de Gladstonedale*masse volumique de l'air +1)*longueur d onde du photon } \right ) </math> fréquence d'un photon orange= 202,30876655 THertz <math>Intensite d'un photon derriere une epaisseur=Intensite devant*\exp\left ( \frac{-4\pi*Cste de GladstoneDale*epaisseur en cm}{longueurdonde du photon} \right )</math> Soit pour un photon orange d'intensité 1KiloWatt devant aura derrière une épaisseur de 1 nanomètre d'air une intensité lumineuse de 76,9026362586509 Watts ex vitesse orbitale de la lune par rapport à la vitesse de rotation de la terre =(RACINE(ABS(0,00007292115×RADIANS(185−187)÷(420))+PUISSANCE(RADIANS(22−22)÷(420);2)))×(383623000)*3,6={{Unité|107513.482389629|km/h}} En python pour déterminer instantanément la vitesse d'un point par rapport à la terre on fait le programme suivant en faisant l'analyse du champ lexical séparé par une virgule de deux trames GNGGA précédente et suivante et où on fait comme sur une feuille de calcul la formule dans une boucle tant qu'en accédant aux valeurs du dictionnaire pour les longitudes, latitudes, altitudes et le temps: """ GNGGA Compteur de vitesse par rapport au mouvement de rotation de la terre """ import serial import math <nowiki>#</nowiki> Set up serial: ser = serial.Serial(     port='/dev/ttyACMx',\     baudrate=9600,\         timeout=1) <nowiki>#</nowiki> Helper function to take HHMM.SS, Hemisphere and make it decimal: def degrees_to_decimal(data, hemisphere):     try:         decimalPointPosition = data.index('.')         degrees = float(data[:decimalPointPosition-2])         minutes = float(data[decimalPointPosition-2:])/60         output = degrees + minutes         if hemisphere == 'N' or hemisphere == 'E':             return output         if hemisphere == 'S' or hemisphere == 'W':             return -output     except:         return ""     def parse_GNGGA(data):     data = data.split(',')     dict = {             'fix_time': data[1],             'latitude': data[2],             'latitude_hemisphere' : data[3],             'longitude' : data[4],             'longitude_hemisphere' : data[5],             'fix' : data[6],             'sat' : data[7],             'dop' : data[8],             'altitude' : data[9],             'unit_alt' : data[10],             'WGS84' : data[11],             'unit_wgs84' : data[12],             'vide' : data[13],             'checksum' : data[14]                 }         dict['decimal_latitude'] = degrees_to_decimal(dict['latitude'], dict['latitude_hemisphere'])     dict['decimal_longitude'] = degrees_to_decimal(dict['longitude'], dict['longitude_hemisphere'])     return dict     <nowiki>#</nowiki> Main program loop: gpsDataB = None speedA= 0.0  masse= 90.0 while True:           line = str(ser.readline())         if "b'$GNGGA" in line :         gpsDataA = parse_GNGGA(line)                 if gpsDataB is not None:                         AltA= float(gpsDataA.get('altitude'))             AltB= float(gpsDataB.get('altitude'))             LonA=float(gpsDataA.get('decimal_longitude'))             LonB=float(gpsDataB.get('decimal_longitude'))             LatA=float(gpsDataA.get('decimal_latitude'))             LatB=float(gpsDataB.get('decimal_latitude'))             tempsA=float(gpsDataA.get('fix_time'))             tempsB=float(gpsDataB.get('fix_time'))             speed =3.6*(3781009 + AltB+ abs(AltA - AltB) * (math.sqrt(((- 0.00007292115 + (math.radians(LonA- LonB)/(tempsA-tempsB))))**2 +(math.radians(LatA - LatB)/(tempsA-tempsB)) ** 2)) energie=0.5*masse/(3.6**2)*(speed ** 2 - speedA ** 2)             print("vitesse = {}".format(speed)) print("Joules = {}".format(energie))         speedA = speed         gpsDataB=gpsDataA Par produit en croix de Masse de la Terre ⇒ Rayon moyen de la Terre * vitesse angulaire de la rotation de la Terre Masse de la Lune ⇒ Rayon moyen de la Lune * vitesse angulaire de la rotation de la Lune On peut déterminer la masse de la Lune*(6371,009*7,292115*0,00001*3600)= 5,973 6 × 10²⁴ <abbr>kg*</abbr>1 737,4 <abbr>km*2*PI/</abbr>27,321 582/24 Masse de la Lune= 5,943117086*10^21Kg === Démonstration === [[Fichier:Abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]] [[Fichier:Flou stroboscopique de l'abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]] [[Fichier:Cylindre rvb.webm|vignette|synthèse additive sur un cylindre qui tourne avec blender]] [[Fichier:BeansRVB.webm|vignette|Cylindre déformé RVB]] {| class="wikitable" |Produit matriciel |(1/2^n;1/2^n) où n est le degré d’optimisation |- |(Vitesse d’ouverture pour une synthèse additive d’un groupe de couleurs RVB; angle n*alpha avec n>0) |(Vitesse d’ouverture de l’appareil photo; angle alpha) |} [[Fichier:Integrale flou stroboscopique.jpg|vignette|Integrale flou stroboscopique]] [[Fichier:Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre.jpg|vignette|Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre]] Soient <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">θ = ωt et ω = 2<math>\pi</math>f</span>, où <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">θ</span> est un angle en radians, <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">f</span> la fréquence de la platine en tours par minutes et <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t</span> le temps en secondes. *On fait correspondre <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">ω = 2<math>\pi</math>f</span> et <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">ω = θ/t</span>, d'où <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">2<math>\pi</math>f = θ/t<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">. *On simplifie : <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t = θ/(2<math>\pi</math>f). *On convertit <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">f</span> en tours par seconde et on obtient <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t = θ/(2<math>\pi</math>f)/60)</span>, d'où : <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t = (60 <math>*</math> θ)/(2<math>\pi</math>f)</span>. pour n=0 Sur un disque tournant sur une platine, on obtient une vitesse d'ouverture de l'appareil photo de : <blockquote style="text-align:center; font-size:1.2em;"> <math>Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \ tours \ platine \ par \ minute \ * \ 2 \pi)</math> </blockquote> [[Fichier:Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque.jpg|vignette|'''Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque''']] [[Fichier:Signatures stroboscopiques.jpg|vignette|Clef publique obtenue avec un flou cinétique circulaire d'angle 150° grâce à une clef privée pour des signatures stroboscopiques.]] [[Fichier:Générer une clef publique sans clef privée.jpg|vignette|Générer une clef publique sans clef privée]] [[Fichier:Dechiffrement d'une clef stroboscopique.jpg|vignette|Déchiffrement d'une clef privée à partir d'une clef publique connaissant son angle de flou cinétique circulaire]] [[Fichier:Dechiffrement image floutée circulairement avec 3 angles.jpg|vignette|Déchiffrement image floutée circulairement avec 3 angles]] [[Fichier:Figer et flouter digitalement une figure en rotation.jpg|vignette|Figer et flouter digitalement une figure en rotation]] [[Fichier:Flou-et-figeage deflou.jpg|vignette|Flou et figeage de flou + padding et intégrale]] <gallery mode="packed" heights="220px"> Rose - 1.jpg|Rose en flou stroboscopique à l'arrêt Rose-2.jpg|Rose en flou stroboscopique en rotation </gallery> <gallery mode="packed" heights="220px"> Galaxie - 1.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque à l'arrêt Galaxie - 2.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque en rotation </gallery> [[Fichier:Perroquet à l'arret.jpg|vignette]] <gallery mode="packed" heights="220px"> Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|Platine à l'arrêt Flou cinétique sur vinyle.JPG|Platine en mouvement :<br />78 tours/mn,<br />vitesse d'ouverture 1/15 s,<br />angle <big><math>\pi</math></big>/6|alt=Platine en mouvement :78 tours/mn,vitesse d'ouverture 1/15 s,angle π/6 </gallery> <gallery mode="packed" heights="220px"> Sextuple spirale réedition à l'arrêt.jpg|Sextuple spirale, réédition à l'arrêt Sextuple spirale réedition en mouvement.jpg|Sextuple spirale, réédition en mouvement </gallery> [[Fichier:Perroquet en mouvement.jpg|vignette]] === Table stroboscopique === {| class="wikitable" style="text-align:center;" |- ! angle !! <big><math>\pi</math></big>/6 !! <big><math>\pi</math></big>/4 !! <big><math>\pi</math></big>/3 !! <big><math>\pi</math></big>/2 || <big><math>\pi</math></big> !! 2<big><math>\pi</math></big> |- ! 33 tr/mn |0,1515151515 || 0,2272727273 || 0,303030303 || 0,4545454545 || 0,9090909091 || 1,8181818182 |- ! vitesse | 1/6 s || 1/5 s || 0,3 s || 0,5 s || 1 s || 2 s |- ! 45 tr/mn | 0,1111111111 ||'''0,1666666667'''|| 0,2222222222 || 0,3333333333 || 0,6666666667 || 1,3333333333 |- ! vitesse | 1/10 s ||'''<u>1/6 s</u>'''|| 1/5s || 0,3s || 0,6s || 1,3s |- ! 78 tr/mn | 0,0641025641 || 0,0961538462 || 0,1282051282 || 0,1923076923 || 0,3846153846 || 0,7692307692 |- ! vitesse | 1/15s || 1/10s || 1/8s || 1/5s || 0,4s || 0,8s |} === Expériences === {| align="right" |- | [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newton à l'arrêt]] || [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|Prisme à 2<big><math>\pi</math></big>]] |} <gallery mode="packed" heights="150px"> Disque_de_newton_permuté.jpg|Modèle de disque de newton permuté Rotation_disque_de_newton_permuté_pour_chaque_couleur.jpg|Disque de Newton permuté à <big><math>\pi</math></big>/7 pour chaque flou visible sur chaque flou visible Rouge Orange Jaune Vert Bleu Indigo Violet Angle_permutation_couleurs.jpg|Angle des couleurs flou visibles sur autre couleurs de flou visible </gallery> Et on obtient par un système de 6 équations à 7 inconnues pour chaque angle par rapport à une couleur : {| |- valign="top" | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |- style="font-variant:small-caps;" ! Vert !! jaune !! orange !! rouge !! violet || indigo !! bleu !! blanc |- style="height:20px;" | style="background-color:green;"| || style="background-color:yellow;"| || style="background-color:orange;"| || style="background-color:red;"| || style="background-color:purple;"| || style="background-color:indigo;"| || style="background-color:blue;"| || style="background-color:white;"| |- | 25|| 80|| 35|| 50 ||60||35||75 || 360 |- | 50|| 65|| 70|| 60 ||30||20||65 || 360 |- | 35|| 75|| 80|| 45 ||50||20||55 || 360 |- | 45|| 80|| 70|| 60 ||45||20||40 || 360 |- | 60|| 60|| 40|| 50 ||20||40||90 || 360 |- | 40|| 60||50|| 40||60||30||80 || 360 |- | 360|| 360|| 360|| 360 ||360||360||360 || 360 |} | style="padding-left:20px;"| <br /> {| class="wikitable" |- | <poem> <span style="color:#fff;">+ </span>Vert = 4,200764818 + Jaune = 5,990439771 + Orange = –1,833652008 + Rouge = –2,728489484 + Violet = 0,575525813 + Indigo = –8,304015296 + Bleu = 3,099426386 </poem> |} [[File:Dégradé.jpg|thumb|Dégradé de flou de couleurs de base]] |} [[Fichier:Lunette periscopique pour vision 1-4.jpg|vignette|Schémas optique d'une vue dans un champ visuel de PI/2 élargi 3 fois avec des miroirs]] [[Fichier:Dégradé linéaire.jpg|vignette|Dégradé linéaire d'après dégradé circulaire photographique]] === Disque de Newton en RVB === <gallery mode="packed" heights="150px"> Disque de Newton en spirale.jpg|Disque aux couleurs de Newton<br />en vue d'obtenir du blanc Blanc du disque de Newton lumière blanche.jpg|Blanc du disque de Newton<br />en spirale avec une lumière blanche Violet du disque de Newton en lumière ultraviolette.jpg|Violet du disque de Newton<br />en spirale avec une lumière ultraviolette </gallery> <gallery mode="packed" heights="220px"> Disque de newton rvb.jpg|Disque de Newton en RVB à l'arrêt Disque de newton rvb pi sur2.jpg|Angle de <big><math>\pi</math></big>/2, 33 tr/mn, flashé à 0,5 s Disque de newton rvb 2pi.jpg|Angle de 2<big><math>\pi</math></big>, 33 tr/mn, flashé à 2 s </gallery> == Synthèse additive == <gallery mode="packed" heights="180px"> Table des couleurs en peinture acrylique.JPG|Table des couleurs<br />en peinture acrylique Blanc UV synthèse additive RVB.webm|Blanc UV synthèse additive RVB Synthese_additive_flou_stroboscopique_RVB.jpg|Synthèse additive aux couleurs RVB<br />sur un disque circulaire Resultat_de_la_synthese_additive_flou_stroboscopique.jpg|Résultat de la synthèse additive<br />45 tr/mn<br />Angle de <big><math>\pi</math></big>/2<br />flashé 0.3s </gallery> {| class="wikitable" |+ !Produit Matriciel !(R/B)*Alpha* V/(R+V+B) !Alpha* V/(R+V+B) !(B/V)*Alpha* V/(R+V+B) |- |(Rouge; Vert; Bleu; angle Alpha) | colspan="3" |Angle pour chaque valeur RVB différentes par dichotomie |- |ex Bleu roi (49;140;231; 45°) |5,25° de rouge |15° de vert |24,75° de bleu |- | | | | |} [[Fichier:Clown dichotomie.jpg|vignette|méthode de coloriage par dichotomie]] [[Fichier:Clown de face.jpg|vignette|synthèse additive du coloriage par dichotomie 1/6s 45t pi/2]] <gallery mode="packed" heights="160px"> Synthese additive flou stroboscopique 0.jpg|Synthèse additive<br />flou stroboscopique 0 Synthese additive flou stroboscopique pi.jpg|Synthèse additive<br />flou stroboscopique <big><math>\pi</math></big> Synthese additive flou stroboscopique 2PI.jpg|Synthèse additive<br />flou stroboscopique 2<big><math>\pi</math></big> Disque couleurs additives.webm|Disque couleurs additives </gallery> == En flou stroboscopique == En flou stroboscopique, on peut reproduire la synthèse additive avec un appareil photographique : c'est le phénomène de la lumière réfléchie comme de la lumière projetée sur un écran et surtout moins nocive pour la santé. On peut vérifier aussi la synthèse additive des couleurs sur le disque en le fixant sur un ventilateur, par exemple, où elle sera visible à vision humaine mais ne le sera pas sur une caméra. {| align="center" |- |[[Fichier:Synthèse_additive_par_lumière_réflechie_sur_un_disque_tournant_à_45tr_minute.jpg|250px]] | [[Fichier:Couleurs_sur_un_disque_à_l'arrêt_pour_une_synthèse_additive_par_lumière_réflechie.jpg|250px]] |- valign="top" style="font-size:90%; text-align:center" | Synthèse additive par lumière réfléchie<br />sur un disque à 45 tr/mn || Couleurs sur un disque à l'arrêt<br />pour une synthèse additive<br />par lumière réfléchie |} == Diagramme de Venn des couleurs synthèse additive étendues == [[File:Gamme de gris.webm|thumb|Gamme de gris]] [[File:Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert]] [[File:Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu]] [[File:Disque synthèse additive étendue( Cuivre, lavande, saumon et or).webm|thumb|Disque synthèse additive étendue (cuivre, lavande, saumon et or)]] <gallery mode="packed-hover" heights="280px" caption="Diagramme de Venn des couleurs étendues de la synthèse additive par lumière réfléchie ''(survolez l'image)''"> Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_à_l'arrêt.jpg|<small>Pour faire du gris anthracite, blanc crème et bleu maya</small> Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_en_mouvement.jpg|<small>Gris anthracite, blanc crème et bleu maya</small> </gallery> <gallery mode="packed-hover" heights="280px" caption="Production du orange cassis et jaune par synthèse additive de lumière réfléchie"> Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_1.jpg|<small>Partie 1</small> Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_2.jpg|<small>Partie 2</small> </gallery> <gallery mode="packed-hover" heights="280px" caption="Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent)"> Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque immobile.jpg|<small>À l'arrêt</small> Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque en rotation.jpg|<small>En mouvement</small> </gallery> === Théorie de l'absorption et de la réflexion de la lumière par les surfaces colorées === {| align="center" |- valign="top" | [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]] | [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]] | [[Fichier:Nuancier stroboscopique.JPG|220px]] | [[File:Fond chromatique.JPG|220px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Vitraux || Fond gris || Nuancier stroboscopique<br />sur fond chromatique || Stroboscopie de disque<br />aux couleurs chromatiques |} === Flou stroboscopique sculpté === {| align="center" |- valign="bottom" | [[Fichier:Modele de flou stroboscopique sculpte.JPG|232px]] | [[Fichier:Flou stroboscopique sculpté.JPG|520px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Modèle de flou stroboscopique sculpté || Flou stroboscopique sculpté |} === Flou cinétique radial === {| align="center" |- valign="bottom" | [[Fichier:Stroboscopie de Jimi Hendrix.JPG|220px]] | [[Fichier:Flou stroboscopique.jpg|330px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Stroboscopie à <big><math>\pi</math></big>/6 || Retouche d'image faite à la main |} ==== Effet bras de levier ==== Dans le flou stroboscopique, l'effet bras de levier consiste, en diminuant l'angle de rotation avec une vitesse stroboscopique plus élevée, à éloigner du centre le flou vers l’extérieur et avoir un centre plus net. <gallery mode="packed" heights="160px"> Stroboscopie circulaire à 0,05s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,05 s Stroboscopie circulaire à 0,033s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,033 s Stroboscopie circulaire à 0,016s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,016 s Stroboscopie circulaire à 0,00625.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,00625 s Stroboscopie circulaire à 0,0025.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,0025 s </gallery> ==== Le flou stroboscopique rectiligne ==== À plus grande échelle, le mouvement circulaire devient rectiligne et on obtient du flou stroboscopique rectiligne. Ceci est la preuve que quel que soit la masse de la goutte d'eau en chute libre, un corps tombe à la même vitesse. [[Fichier:Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s.JPG|thumb|center|upright=1.5|Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s]] ==== Retranscription du son par la couleur ==== {| align="center" style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;" |- align="center" ! colspan="2"|<q>''When The Saints Go Marching In''</q> |- valign="bottom" | [[Fichier:When The Saint Go Marching In - Partition - Flou Stroboscopique.JPG|220px]] | [[Fichier:When The Saint Go Marching In - PLAY - Flou Stroboscopique.JPG|495px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Partition en spirale<br />pour Flou Stroboscopique<br />Chaque couleur représente<br />une note selon sa longueur d'onde | Joué en Flou Stroboscopique en <big><math>\pi</math></big>/2<br />pour faire une mesure à 4 temps |} *Le flou stroboscopique est un flou visible produit par l'effet d'un mouvement périodique d'un ou plusieurs points sur un disque capté lors de la prise de vue : <blockquote style="text-align:center; font-size:1.2em;"> <math>Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \ tours \ platine \ * \ 2 \pi)</math> </blockquote> {| align="center" style="font-size:90%; border:1px solid #a2a9b1; margin-top:25px;" |- valign="bottom" | [[Fichier:Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|220px]] | [[Fichier:Flou cinétique sur vinyle.JPG|220px]] | [[Fichier:Vitraux éclairée.JPG|220px]] | [[Fichier:Suites de segments et d'hexagones traduites en flou stroboscopique.JPG|495px]] |- valign="top" align="center" | Spirales sextuples, intervalle de 30°<br />6 couleurs peintes sur vinyle<br />Platine à l'arrêt | 78 tours pour obtenir un flou visible<br />Vitesse d'ouverture photo : 1/15s | 78 tours 30° 1/15s | 78 tours 30° 1/15s |} {| align="center" style="background-color:#f6f6f6;font-size:90%; margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- valign="bottom" | [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]] | [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]] | [[Fichier:Stroboscopie à 360° d'une suite de spirales aux couleurs chromatiques.JPG|220px]] |- valign="top" align="center" | Vitraux sur fong gris<br />pour flou stroboscopique | 78tours 1/15s 30° |Stroboscopie à 1.3 et 45 tr/mn<br />pour faire un tour complet<br />soit 2<big><math>\pi</math></big> |} <gallery mode="packed" heights="250px"> Stroboscopie photographique d'un mouvement circulaire à 0,016s.jpg|Cascade Zen architectural.JPG|Flou stroboscopique fait main<br />Made in France D Day.xcf|Decopatch stroboscopique Robinson Crusoé.JPG|Flou stroboscopique de poster </gallery> {| align="center" |- valign="bottom" | [[Fichier:Vertigo Building.JPG|thumb|Photographie de Lewis W. Hine stroboscopiée à l'artisanale]] | [[Fichier:Volant à droite.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]] | [[Fichier:Volant à gauche.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]] |} <div style="float:center; width:440px; margin:auto; text-align:center;"> [[Fichier:Airbourn stroboscopié.JPG|220px]][[Fichier:Iron Maiden stroboscopié.JPG|220px]]<br />Sonisphere </div> {| align="center" |- valign="bottom" |Disque original entre les mains du parquet de Paris[[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newston à l'arrêt]] | [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 0pi.JPG|thumb|upright=2.2|Stroboscopie du Disque de Newton à vitesse proche du 0 <big><math>\pi</math></big>]] | [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|À vitesse proche du 2 <big><math>\pi</math></big>]] |} {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; margin-bottom:25px;" |- bgcolor="#ffffe0" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''My Way''</q> |- valign="bottom" | [[File:My Way-source-flou stroboscopique.JPG|300px]] | [[File:My Way 33 3 3.JPG|300px]] |- valign="top" | Partition lumineuse<br />Formatage en <big><math>\pi</math></big>/3<br />avec 8 octets sur 5 pistes | Jouée en 33 tr/mn<br />Rotation de <big><math>\pi</math></big>/3 en 0,3 s |} {| align="center" |- | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique du <q>''Boléro'' de Ravel</q> |- | [[File:Bolero-joué-flou stroboscopique.JPG|280px]] | [[File:Partition-Bolero-Flou stroboscopique.JPG|280px]] |- valign="top" | Partition<br />10 secteurs de 12 octets sur 8 pistes | Jouée en 78 tr/mn<br />Prise à 1/13 s pour <big><math>\pi</math></big>/10 |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique du <q>''Smile (temps modernes)''</q> |- | [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes-partition.JPG|280px]] | [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes.JPG|280px]] |- valign="top" | Partition<br />de 72 secteurs de 4 noires sur 12 pistes | Jouée en 33 tr/mn<br />Angle <big><math>\pi</math></big>/3, 0,3 s |} |} [[Fichier:Bolerovideo.webm|vignette|297px|Bolerovideo]] {| align="center" |- | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; background-color:#ffffe0; margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- ! colspan="3"|Effet stroboscopique de <q>''Swanee''</q> de Gershwin |- valign="bottom" | [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique.JPG|490px]]| | [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur4.JPG|220px]] | [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur8.JPG|220px]] |- valign="top" | Partition de 96 secteurs de 4 octets sur 6 pistes | Jouée à <big><math>\pi</math></big>/4 | Jouée à <big><math>\pi</math></big>/8 |} |} {| align="center" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''The entertainer''</q> de Scott Joplin |- valign="bottom" | [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique.JPG|280px]] | [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique- en mouvement.JPG|280px]] |- | 72 secteurs de 8 doubles croches sur 6 pistes | Jouée en 33 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/6 et 1/6 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique du <q>''French Cancan''</q> d'Offenbach |- valign="bottom" | [[File:Partition French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]] | [[File:French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]] |- | 144 secteurs de 4 croches sur 12 pistes | Jouée à 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/6 et 1/15 s |} |} {| align="center" bgcolor="#ffffe0" style="font-size:90%;text-align:center; margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Lettre à Élise''</q> de Beethoven |- valign="bottom" | [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn off.JPG|260px]] | [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn on.JPG|585px]] |- valign="top" | 90 secteurs de 6 doubles croches<br />sur 15 pistes | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/3 et 1/8 s |} {| align="center" style="margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de la <q>''Marche de Radetzky''</q> de Johann Strauss |- valign="bottom" | [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- partition.JPG|280px]] | [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- turn on.JPG|280px]] |- valign="top" | 104 secteurs de 8 doubles croches,13 pistes | Jouée à 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1/10 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Habanera de Carmen''</q> de Georges Bizet |- valign="bottom" | [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- partition.JPG|280px]] | [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- play.JPG|280px]] |- | 88 secteurs sur 11 pistes 8 doubles croches | Jouée à 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1/6 s |} |} {| align="center" style="margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Nocturne Op. n°2''</q> de F. Chopin |- valign="bottom" | [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-partition.JPG|220px]] | [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-play.JPG|220px]] |- | 36 sect., 12 pistes, 48 triples croches | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/3 et 1/4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''La Marseillaise''</q> de Rouget de Lisle |- valign="bottom" | [[File:Partition de la Marseillaise de Rouget de Lisle en notes couleurs de l'arc en ciel.JPG|220px]] | [[File:La Marseillaise de Rouget de Lisle jouée en flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 40 secteurs 10 pistes 1/16 | 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 0.3 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Pump and circumstance''</q> de Edward Elgar |- valign="bottom" | [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar partition pour flou stroboscopique.JPG|220px]] | [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar joué en flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 80 secteurs 10 pistes 1/4 | 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1.6 s |} |} {| align="center" style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;" |- valign="bottom; ! colspan="2"|''Lascia Ch'io Pianga'' de l'opéra <q>Rinaldo</q> de G. F. Händel |- valign="bottom" | [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - partition.JPG|220px]] | [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - play.JPG|220px]] |- style="text-align:center; font-size:90%;" | 42 secteurs, 7 pistes, 1 croche | Joué en 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/3 et 1/5 s |} {| align="center" style="margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|<q>''El condor pasa''</q> |- valign="bottom" | [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-partition.JPG|220px]] | [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-en mouvement.JPG|220px]] |- | 48 sect., 12 pistes, 16 dbles croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 1,5 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2"|<q>''Chicken Reel''</q> de Joseph M. Daly |- valign="bottom" | [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly (partition).JPG|220px]] | [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly.JPG|220px]] |- | 52 secteurs 13 pistes 1 croche | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 1/5 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|<q>''L'apprenti sorcier''</q> de Paul Dukas |- valign="bottom" | [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique-Partition.JPG|220px]] | [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 28 secteurs 7 pistes 3 croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 1/5 s |} |} {| align="center" |- | style="padding-right:25px;" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2" |<q>''Valse n°2''</q> de Dmitri Chostakovitch) |- valign="bottom" | [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- partition.JPG|220px]] | [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- play.JPG|220px]] |- | 39 secteurs 13 pistes 12 dbles croches | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/3 et 1/4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2" |<q>''Le beau Danube bleu''</q> de J. Strauss |- valign="bottom" | [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- code source.JPG|220px]] | [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- compilé.JPG|220px]] |- | 345 secteurs 23 pistes 6 croches | 33 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/15 et 1/8 s |} |} {| align="center" style="margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2" |<q>''Le Lac des Cygnes''</q> de P. I. Tchaikovsky |- valign="bottom" | [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique-partition.JPG|220px]] | [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 26 secteurs 13 pistes 8 croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big> et 4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2" |<q>''Camarada Hans Beimler''</q> de Ernst Busch |- valign="bottom" | [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique- Partition.JPG|220px]] | [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique - RUN.JPG|220px]] |- | 36 secteurs 12 pistes 8 croches | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/3 et 1/4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2" |<q>''La truite''</q> de Franz Schubert |- valign="bottom" | [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-off.JPG|220px]] | [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-on.JPG|220px]] |- | 65 secteurs 13 pistes 1 dble croche | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/5 et 1/6 s |} |} {| align="center" style="background-color:#ffffe0; margin-bottom:25px; font-size:90%; text-align:center;&quot;" |- valign="bottom;" ! colspan="2" |''Toccata & Fugue en Ré mineur'' (Yasuo Sugiyama) |- | [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique-code source.JPG|300px]] | [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique.JPG|300px]] |- | 60 secteurs 12 pistes 16 dbles croches | 45 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/5 et 1/4 s |} {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;" |- bgcolor="#abcdef" ! colspan="4" |<q>''La Marche turque''</q> de W. A. Mozart |- bgcolor="#e1e1e1" | colspan="2" |'''{{1re}} partie'''|| colspan="2" |'''2^ème partie''' |- valign="bottom" | [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]] | [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique.JPG|230px]] | [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]] | [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique.JPG|230px]] |- | 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/8 et 1/20 s | 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/8 et 1/20 s |} {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;" |- bgcolor="#fedcba" ! colspan="2" |<q>''Hilarity Rag''</q> de James Scott |- valign="bottom" | [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- code source.JPG|240px]] | [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- compilation.JPG|240px]] |- | 256 secteurs 32 pistes 1 double croche | 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1/6 s |} {{Autres projets | idfaculté = | b = Photographie/Thèmes/Le flou | wikibooks titre = Le flou }} 3h17uhucv37v4va55ucncxw6b71ceu9 5 87331 986876 986860 2026-09-29T21:17:53Z Ambre Troizat 8860 /* Créer des leçons sur Wikiversité */ nouveau sujet ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|DP]]) 986876 wikitext text/x-wiki == Rencontre en Viso == Pour une rencontre en visio, rendez-vous sur la page : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans Quand êtes-vous disponibles ? Peut-on se fixer un rendez-vous hebdomadaire ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC) == Comment utiliser cette page de discussions ? == On organise explication, discussion, résolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 août 2026 à 00:20 (UTC) :Je propose que l'on parle ici uniquement de l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC) == L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... == Je découvre tardivement que l'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité. Heureusement, la discussion structurée fonctionne. Comme j'utilise principallement l'éditeur visuel pour une question de confort visuel précisément, Je pensais faire un déplacement vers l'espace de nom Projet: mais le projet est le même. Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche: quite à replacer la page dans l'espace Wikiversité: quand les travaux sont fini. Que fait-on ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC) : Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche.<br> Je suis d'accord avec cette proposition car je pense que nous sommes dans un processus de recherche.<br> Nous nous demandons comment faire. C'est à ce stade que nous sommes. : Or, quand je lis les trois pages déjà produites (sur le bureau, sur la page projet et sur cette page de discussion, j'ai l'impression que chacun a sa petite idée et que personne n'est en mesure de réaliser quoi que ce soit.<br> Ne pourrions-nous pas partir de cas concrets.<br> Nous pourrions alors comparer les besoins et l'efficacité des solutions proposées. : Avant de replacer la page dans l'espace Wikiversité, il faut des résultats et rédiger ces résultats. Lequels peuvent être publiés quand les travaux sont finis. : Pour l'instant je regarde faire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 18 septembre 2026 à 20:00 (UTC) ::Salut @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. on va donc faire une redirection vers l'espace recherche le temps d'organiser les choses pour ensuite redéplacer la page dans l'espace Wikiversité en tant qu'archive. ::J'attends le mauvais temps pour me mettre au travail. Actuellement, je suis sur des travaux d'extérieurs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 septembre 2026 à 21:47 (UTC) == Titres de sections == Bonjour {{Mention|Lionel Scheepmans}} Si je comprends bien, c'est toi qui as mis les titres de sections dans cette page ? Pourrais-tu les expliciter / détailler ? Par exemple, j'ai du mal à comprendre ce que signifie "Fusion département études artistiques". Merci ! Bien à toi, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 septembre 2026 à 11:06 (UTC) :Salut @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]]. Le titre de cette section est une idée de @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] , exprimée en réponse à mon premier message de la salle café concernant les 20 ans. C'est donc cette personne qui pourra répondre. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 septembre 2026 à 21:56 (UTC) == Créer des leçons sur Wikiversité == Je dois apprendre à créer des leçons sur Wikiversité.<br> Qui veut expérimenter cela avec moi ? [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 29 septembre 2026 à 21:17 (UTC) i4xc7spfivj7e8rj5wzs8jvwpln46kg 0 87363 986871 986870 2026-09-29T12:30:09Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986871 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} bdl60kprqxa6f2dqn4egsectvacses7 986872 986871 2026-09-29T12:32:50Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986872 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} fkp8mgh9ffkb7ryvka9aus4zs8glzcr 986873 986872 2026-09-29T12:57:19Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986873 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} mjvt3h1c0heax4qy1hnbunr6h7zt8zo 986874 986873 2026-09-29T14:23:06Z Phl7605 31541 t 986874 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} ngnogjzgl1p13yzjtblh3pxwow17urc 986877 986874 2026-09-29T21:40:08Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986877 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 9mjfi4h4d71o05zm64d4ekikjit54mz 986878 986877 2026-09-30T03:00:33Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986878 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} h1b3y753ugypm6r1clm5oqsxrxj58mz 986879 986878 2026-09-30T03:03:50Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986879 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 6shtzwu52c1j692rsdhk8nt0i2j0bzr 986880 986879 2026-09-30T03:48:11Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986880 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du pendule, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}</math>, on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 6sar9q0fofexg0wsqm3a50tcen6ngaa 986881 986880 2026-09-30T09:17:21Z Phl7605 31541 /* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. */ 986881 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre <math>10</math> tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref>, les frottements fluide <math>\,\big(</math>et solide<math>\big)\,</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G_t</math>, de masse <math>\,m_t</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_t\,</math> et de rayon <math>\,R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\,O\,</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\,\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G_c</math>, de masse <math>\,m_c</math>, de longueur <math>\,\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\,R_2\,</math> et de rayon intérieur <math>\,R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\; k \Omega</math> <math>\,\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\,+12\; V\,</math> et <math>\,-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\,\propto\,</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» inférieure à <math>\,10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\,u_{\text{éq}}\,</math> à <math>\,0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\,</math>}} pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes des <math>\,10\,</math> tours de potentiomètre donne <math>\,2,4\; V\,</math> par tour et <math>\,0,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre <math>\,10\,</math> tours de <math>\,10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\,\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)\,</math> pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\,F\;</math><ref name="interface Orphy-GTI"> Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\,10\; k \Omega\;</math><ref name="potentiomètre monotour"> Voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\,10\; k \Omega\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.</ref> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\,10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\,8\; V\,</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\,24\; V\,</math> aux bornes de <math>\,3\,</math> fois <math>\,10\; k \Omega\,</math> en montage potentiométrique donne <math>\,\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\,8\; V\,</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\,8\; V\,</math> pour un tour et <math>\,1\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\,</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\,COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre. <br><br> === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\,10\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » <math>\,\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\,\big(</math>correspondant donc à <math>\,7000\,</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math><ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\,\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\,\big[</math>unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\,</math> et « math » <math>\,\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\,2\;P + 1\,</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\,b_0 = 1\,</math> et <math>\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\,P\,</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\,f_c\,</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\,</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\,f</math> <math>\,\big[</math>ici de l'ordre de <math>\,1\;Hz\big]\,</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\,f_e</math> <math>\,\big[</math>ici égale à <math>\,100\;Hz\big]</math> ; <br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\,\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\,P\,</math> soit petit devant le nombre total <math>\,n_e\,</math> de points, <math>\,P\,</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\,\big\{n_e\,</math> étant égal à <math>\,7000</math>, choisir <math>\,P\,</math> de l'ordre de <math>\,10\,</math> ou plus devrait {{Nobr|convenir<math>\big\}</math>.}}</ref>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\,2\;P + 1 = 41\,</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\,\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\,\big(</math>optionnel<math>\big)\,</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\,\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|3}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\,\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\,\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,</math> et <math>\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\,\big(</math>ou complexes<math>\big)\,</math> d'une variable réelle <math>\,\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\,f\,</math> et <math>\,g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal <br>{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\,P\,</math> 1^ers points ainsi que les <math>\,P\,</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\,P\;T_e</math>.</ref> {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\,</math> la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\,\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\,2\;\pi\,</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers <br>{{Al|62}}naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle <br>{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> <br> <br> <br> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\,\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\,\big(</math>comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite<math>\big)\,</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\,\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\,u(t)\,</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\,2,5\; ms\,</math> et pendant une durée de <math>\,2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\,\big(</math>il}} y aura donc <math>\,1000\,</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\,12\; s\,</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\,4800\,</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\,\big(</math>on trouve <math>\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\,V1\,</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\,</math> pour <math>\,45\; \text{°}\;</math>» <math>\,\Big\{</math>en effet <math>\,24\; V\,</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\,3\; V\,</math> pour <math>\,\dfrac{1}{8}\,</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\,2\,</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\,2,5\;s\,</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\,\big(</math>voisine de <math>\,60\;\text{°}\big)\,</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\,12\;s</math>,}} puis {{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\,\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir <br>{{Al|98}}de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\,\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\,\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\,V1\,</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\,90\;\text{°}\,</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié <br>{{Al|98}}au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\,\Delta_O\,</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\,\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,2,5\;s\,</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\,\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\,\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\,</math> et une sinusoïde <math>\,\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\,</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\,</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\,\searrow\,</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\,12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\,V1 = 6,06\;V\,</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\,\big(\theta\,</math> étant en <math>\,\text{°}\,</math> et <math>\,EAO\,</math> en <math>\,V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\,\searrow\,</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\,\nearrow\,</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\,\searrow\,</math> elle se confond avec une <math>\,\searrow\,</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\,\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\,\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\,\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\,</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\,\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote <math>\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\,\big(</math>elle vaut en effet <math>\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\,\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\,\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\,\searrow\,</math> selon <math>\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\,\searrow\,</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\,\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\,10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\,\big(</math>P.P.<math>\big)\,</math> devient « amorti <math>\,\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\,\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\,O\big)\,</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> » ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\;</math><ref name="liaison idéale" />, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. pour un mouvement à un degré de liberté" />, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref>}} lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z</math>, la foce de frottement fluide étant une réaction<math>\big\}</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big[</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\,\big(</math>la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big]\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\,\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}un pseudo point centré en <math>\,M</math>, point quelconque de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="front"> Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> au vecteur vitesse du solide.</ref> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire <math>\,{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point <math>\,(M,\,dS)\,</math> de la surface latérale du front de l'objet <math>\,\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|⁶⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de <math>\,(M,\,dS)\,</math> du plan localement transverse à savoir «<math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» est aussi la projection orthogonale de <math>\,dS\,</math> sur ce plan.</ref> subit une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» <math>\Bigg\{</math>«<math>\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\,\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> et <math>\,S'\,</math> en dépendent, néanmoins nous supposerons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\,OG\,</math> et <math>\,\perp\,</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» une constante positive <math>\,\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\,</math> caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\,e\,</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\,\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\,z\,</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\,z_i = 0\,</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\,z_s = e > 0\,</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\,z^{+}\,</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\,z^{-}\,</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\,\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\,</math> que l'on notera <math>\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,</math> s'exprimant en <math>\,Pa</math>, <math>\,d \Sigma\,</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide par <math>\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,</math> avec <math>\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\,z</math>, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide s'exprime en <math>\,Pa \cdot s\,</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\,Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\,\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\,</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\,\nu_{\text{flu}}\,</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\,\eta_{\text{flu}}\,</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\,\mu_{\text{flu}}\,</math> selon <math>\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,</math> s'exprimant donc en <math>\,m^2 \cdot s^{-1}\,</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\,St\,</math> égal à <math>\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\,\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\,</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\,\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\,</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »<math>\Bigg\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> laquelle se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que <math>\,{dS'}_{\!M}\,</math> ainsi que <math>\,S'\,</math> n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\,I\,</math> est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\,I</math> <math>\,\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses<math>\big)\,</math> et de <math>\,G</math> <math>\,\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en dérivant <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> par rapport au temps, «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\,I\,</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\,I\,</math> et <math>\,G\,</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\,O\,</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> s’appliquant en <math>\,I\;</math><ref name="positionnement relatif de I par rapport à G" />{{,}} <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\,G\,</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_I\,</math> doit être <math>\,\parallel\,</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\,\in\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\,I\,</math> étant comme <math>\,G\,</math> solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle <math>\,\theta_I\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OI}\,</math> avec la verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O\,</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\,\theta_G\,</math> que fait <math>\,\overrightarrow{OG}\,</math> avec cette même verticale <math>\downarrow</math> passant par <math>\,O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\,\theta_I = \theta_G\,</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\,\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\,I\,</math> sur le support de <math>\,\overrightarrow{OG}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point }}<math>\succ\;</math>le vecteur moment par rapport à <math>\,O\,</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions un pseudo point <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} r8k3eya4fr2lmqvjls37xkwqz8bqnv7